[高等微積分自修心得] 今天要跟各位數學王國國民分享的是在下大二到大三這兩年來努力自修高微得到的一些心得以及一些我覺得大家可以做,讓自己可以更容易搞懂高微的方式 ... ... <看更多>
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大家好~
個人上大學、學大學(數學系)數學也有一陣子了，因此決定上來發個心得
(對發文規矩不太清楚所以請鞭小力一點> <)
(文極長但是真心想跟大家分享的)
以下基本上會偏向主觀的個人心得，當然也歡迎大家留言討論或是問問題
簡短的自我介紹&背景
我是台中人，是個弱弱的大一菜雞
畢業於哪所高中似乎沒那麼重要因此給個小提示就好(男女比約1:2、原本是國立的高中)
然後在去年的個人申請正取了臺大數學系(心目中的第一志願)
有關於大家常提的一些有關數學的說法，我自己的看法
(歡迎大家補充更多)
Q1. 數學好難，不管怎麼念，考試的時候就是不會寫啊
A1. 關於這點，前四個字我是非常認同的 (數學好難)
其他部份我跟Q2.一起回答
Q2. 是不是只有有數學天分的人適合念數學(學得會數學)?
(以下故事都是真的，我也不喜歡唬爛)
A2. 我不否認的確某些人在數學的學習上看起來很輕而易舉，
上課聽一聽，作業就可以寫得出來考試也幾乎都考蠻高的
我想說說我自己的親身經驗應該會比講一些老生常談好得多
(以下很多跟數學無關，但我覺得是符合我想要表達的概念)
在我的數學學習過程中，直到上大學前的確阻礙並不大
(但還是有，我還記得國中自己往後翻一元一次方程式的時候
很不能接受什麼等量公理、移項法則之類的東西，以及高中
老師提前在高一教三角函數時上課幾乎聽不懂)
儘管如此，有些在高中發生的事我覺得蠻值得提的
我是數資班的，但是入班考是從後面數回來的XD
在高一的時候我在班上的數學程度大約是在前中段而已，並沒有到非常突出
結論是我在高二的時候數學程度進步到約班上前3
(高二寒假時寫106學測對答案就14級分了，當然是在沒有壓力的情況下寫，
我也不是要炫耀，只是希望等等在說完我怎麼進步的
以及我跟其他同學對數學的看法差異時能有個比較參考點)
(細節和歷程有點多就先不提，想知道的人可以留言問我，我就會回答)
我的數理在班上算是還不錯的(單就成績來看的話)，英文又是前段
因此段考名次也還可以在前1/3附近，儘管我的國文和歷史、地理非常的爛
在當時我非常討厭這種所謂的「背科」(沒有要戰的意思，當然我現在知道
所謂文史也是需要理解、也有它困難的地方，只是就像也有人討厭數學一樣吧)
所以除了上課，回家基本上完全不會理，段考前才會惡補一下看會不會及格
為什麼要提這段其實是跟後面的故事有關，我就接著說下去
當然身為高中生，要考上好大學還是得把社會科讀起來拉總級分
我一開始其實是不太願意面對的，所以我在暑假開始複習學測內容時是這樣做的:
把買來的數學複習講義+題本2本全部掃光，然後按照科目喜好從最喜歡到最討厭
的一本一本啃完(除了英文以外)，理所當然地理和歷史就留到最後了
國文甚至幾乎是裸考(只有寫考古和模考，買來的複習講義新得跟什麼一樣)
(題外話:這只是我自己的複習方式，我自己都覺得很奇怪，不是太建議這樣學習)
就像前面說的我超級討厭歷史和地理，高一高二又是混過去的，所以唸得非常痛苦
因為沒有基礎所以只能畫重點、背、寫題目、滿江紅，然後無限循環
我那時候也會不時覺得自己怎麼進步這麼慢，都唸兩、三個月了寫模考題還是滿江紅
(這邊提醒一下，因為我的複習方式所以那時的其他科目除了寫題目維持手感以外
沒有特別唸很多)
曾經一度因為這樣很苦惱，但後來還是熬到學測前，寫考古時發現
自己有辦法寫到13級分了!!!
(當然這樣沒有很厲害，13級分應該可以錯個15題左右吧XD
只是對一個曾經面臨被當危險的人的確實會非常開心)
故事先說到這邊，稍微提一下我社會科的進步幅度就好:
中模1st:10級分->中模2nd:13級分->107學測:14級分
說上面這長串故事，我並不是想炫耀我有多努力或多聰明，我承認我是個幸運的人
學測只有社會和國文需要搶救，國文又因為出題模式改變剛好選擇考得不錯
而撈到13級分
(說到這點我一定要抱怨，學測國文鑑別度真的很糟糕，我這種裸考的人
考13級分，一個要拚醫科很努力的同學卻因為作文掉到12級分(他的作文是連
國文老師都認可的)我不想引戰，但這種事情就是活生生的發生在我眼前)
我主要是想用自己在社會科的經驗回答第一和第二個問題:
如果你看完故事，再回去看一下題目你會發現
(1)原PO當時社會極爛，也覺得很難
(2)從原PO在高一二的表現和進步速度來看他的「社會天分」應該也不太好(?
或許真的有天分這種東西，但我真心認為對絕大部分的人而言，
絕對有辦法把數學學到某種程度
(這裡的「某種程度」涵蓋到目前高中的所有課綱內的數學
甚至到部分的大學數學，像是微積分)
看到這裡我相信有些人可能會覺得:啊搞不好你就真的比較聰明啊，才有辦法在
這邊說這些風涼話 or 你有體會過上課聽不懂、作業不會寫要怎麼辦的感覺嗎
關於第一個質疑，我的回答是我不確定，但我確定比我聰明(甚至聰明很多)的人很多
可以看看上面提到的我的背景，或是我再告訴你:我去參加競賽也是各種被慘電
最好的成果只有中區學科能力競賽佳作，關於這點我待會會提到
聰明的重要性和我的看法
而關於第二個質疑，我可以毫不猶豫地回答有，現在就常常發生
教授在台上上課，我聽不懂只能埋頭抄筆記，作業寫不出來更是稀鬆平常
回到主題，為什麼我會認為大部分的人都有辦法學會數學
其實最近在網路上看到一本書的書評，看完之後覺得很認同，所以也因此決定要發文
(我不確定可不可以公然提到書名，如果可以的話我願意留言補充)
請大家回想一下自己的學習歷程，是不是在某個點卡住之後就沒有好過了
(除了數學，其他的科目也是，只是我不太確定為什麼有很多人對數學這科
特別會有需要天分的說法)
每個人的所謂的那個「點」其實不太一樣，以我個人的話現在在大學學習時
就常常發生，但我覺得重要的有幾點
(1)你是為什麼學數學
(2)你願意為了數學(或其他東西)付出多少
再回到我高中的部分一下，那時儘管我不是班上頂尖，但我相信喜歡數學的程度
在班上是沒幾個人比我高的，又因為不喜歡社會科、不是太在意考試或繁星，
所以我常做的事就是想/寫數學，找數學有關的任何東西，不用「平均」的唸
所以在某些同學為了學測、繁星捨棄精進數學的機會時，我花一整個晚上
自己訂正老師出的小考(那時老師總會放幾題難的)，或是花好幾天把看到的一些
競賽題或是中山大學的雙週一題之類的東西試著想出來
我不覺得是我比他們聰明很多，我一開始小考會時不時的爆炸
從入學考倒數這點應該也能看出來我不能算很資優，
只是我可以花很多時間自己試著理解、思考，
所以才進步到上面說的那種程度(當然還是沒有很厲害啦)
整篇文章講了那麼多
我想說的不是「只要努力，人人都可以當數學家」這種話
而是「如果你只因為一時挫折而覺得自己不夠聰明，進而放棄學習，
那你怎麼指望有一天就自己突然學會了」
我身邊也很多比我更聰明的人，但我更佩服他們對數學的態度和熱愛，
就算他們真的比較聰明，我也覺得那是他們的努力應得的
我也被擊倒過，我也有完全聽不懂、看不懂的時候，
但為什麼我最後社會考了14級分，考進臺大數學系
(By the way 申請是有數學筆試和口試的)
我相信、也感謝是當時那個沒有放棄的自己
文章終於結束了，很感謝願意花時間看完的人，
文中或許有不少偏頗的地方，但歡迎大家指教
希望大家在之後數學寫不出來的時候能先告訴自己:我可以，只是要再多一點時間而已
(當然也泛指各種困難，不只是數學，真的努力過了再放棄也不遲對吧)
然後沒有提到具體怎樣學數學以及有關數學系的心得是因為覺得適用範圍太小，
如果對這方面想聽聽我的看法的話我可以在下面和大家討論
最後附上一則系上某位教授的語錄:如果你有討厭的事，那就每天作15分鐘
既然很多人提到想要知道書名，那我就附上來好了:
幫孩子找到自信的成長型數學思維 (不過我也只有看書評就是了XD)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.240.53
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/SENIORHIGH/M.1558685777.A.5D9.html
※ 編輯: momo04282000 (140.112.240.53), 05/24/2019 16:20:05
我在高一下的時候考校內學科能力競賽只有佳作
之所以說只有是因為兩個原因
(1) 那份題目其實對超修的人占優不大，也就是高一夠強也可以優勝
(2) 班上有另一位同學拿優勝(後來中區也拿佳作)而當時我認為我數學應該比他好
(因為他是我上面說的那種很平均唸的人，對數學也是經常不懂就問
這邊指的是一時解不出來就問老師解法，不是有困難而問)
這樣評論有點主觀，不過這是「當時的我」的想法就是了
因為這個原因所以其實不太甘心，在之後升高二之後我還是用上述的方式學習
就不只學課內，自己看到什麼有趣的題目都會去試著解，
基本上那時候課本上的推論、證明我都能大致掌握
(除了某些高中證不太出來的像是代數基本定理之類的)
而因為高二了，某些人放在數學的比重明顯更下降(就是不要考太差就好)
把重點放在平均地考好&拚繁星、學測
這樣下來約一年的結果，我在高二下再度挑戰校內學科能力競賽的時候
拿到第一名的優勝(考最高是數學老師告訴我的)，所以才有後面中區的故事
那位同學好像跑去考生物還化學然後沒有進中區複賽
我沒有要說哪種做法比較好，留給大家自行評估
畢竟台灣重視升學考試所以他那樣也算是無可厚非
我自己只是剛好運氣比較好，班上其實還有一位我覺得更厲害的
他可以把功課顧到繁星1% (雖然據他說法是因為班導，他也唸得頗痛苦，不是很喜歡)
還自己唸高中物理甚至到大學物理(好像高二就自己把高中物理唸完了)
高一下就拿中區能力競賽第六名然後全國能力競賽也有得獎
我想主要還是你可以砸多少時間在數學上，因為像我也不是馬上付出馬上回報
是一段時間後突然覺得自己功力上升一個等級，那種感覺有點難形容
有點像我說的線代突然懂的例子，而且那段時間長度因人而異
努力了還是不懂的感覺也不是太好，像我現在就是花的時間不太夠
所以學得有點糟糕，只能說學數學真的不像某些科目是比較線性成長的吧
(像高中的社會或國文，你多背一點考試就會高一點)
我自己高中就是某個時候突然能夠把課綱內的東西都理解透徹
只是現在的話好像就還沒「開竅」XD
有點像l6l6au大大說的時間砸下去 基本上被設計出來的「課程」
不會過不了(甚至可以學得很好) 只是具體時間要多少不好說
但系上的微積分蠻「分析」的 (相比其他學校的話)
可以參考我在臺大課程版發的心得文，我們用的那本教科書和一般的微積分差別頗大
我和ScottOAO大大的看法比較不一樣，我認為要看是怎樣的線代和怎樣的微積分來比
如果是偏代數的抽象線代VS一般理工科微積分我會覺得應該微積分簡單一點
不過每個人的狀況又都不一樣就是了，我自己現在下學期學微積分學得很糟糕
回到你問的問題，我自己的經驗是線代比較抽象
(因為函數是相對熟悉的東西，高中又幾乎沒有接觸比較抽象的代數)
不過這兩個科目的確都蠻抽象的，我同意ScottOAO大大說的一個看法
把問題放在腦中有空就想，的確這兩個科目有時候會一時無法理解這些理論、定理的由來
(像我現在還是覺得Jordan form 證明的方式-Cyclic subspace分解 非常的通靈
還有最近的Stoke's Theorem 和 Quadratic Space的一些定理
(E.g. Wiit Decomposition/Cancellation Thm Cartan Dieudonne Thm))
根據我微積分老師和自己後來實證的經驗，證明或意義看不懂先跳
先作習題比較能幫助理解 (一般來說作出習題並不一定要對定理的證明整個理解透徹)
之後可以再慢慢思考，不然老師課其實還是一直上下去不會等你
像我說的Jordan form我不會，但老師期末考得比較應用(就是利用Jordan form 證明)
所以我還是考得不錯
總結來說我是認為主要要先砸時間，有時候大概對定理本身有個直觀的感覺就暫時OK了
因為我自己有時候也是會迷失在證明的細節裡，像是線代第一章(Friedberg的書)
我一開始根本不懂定理在做什麼，是後來才突然理解整個東西在做什麼
甚至也可以把整個看成一套東西而不是東一個西一個定理
為什麼的話有時候其實我也說不太上來，主要還是砸時間等自己有一天開竅(?
很抱歉感覺沒回答到的感覺，但我想主要是真的要花時間&卡住時可以適時跳掉
再補充一點就是可以和同學老師多討論，畢竟是學數學
並不是要把數學「重新創造一次」所以我是覺得有時候的確免不了要背
或是強迫自己接受一些奇怪的定義和構造(?
如果一直自己唸有時候會有盲點or鑽牛角尖
多聽聽其他人的想法或許可以得到一些啟發
※ 編輯: momo04282000 (140.112.73.2), 06/01/2019 16:33:02
※ 編輯: momo04282000 (140.112.73.2), 06/01/2019 17:02:10
※ 編輯: momo04282000 (140.112.73.2), 06/01/2019 17:03:21
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