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矩陣線性變換高中在 [中學] 矩陣的線性變換det=0時- 看板Math - 批踢踢實業坊的推薦與評價

作者alwaysapie (派)

看板Math

標題[中學] 矩陣的線性變換 det=0時

時間Mon Jan 27 09:46:36 2014

在看高中課本時，

會講到當A矩陣的det(A)不為0時，

會把一條直線轉到另一條直線。

可是沒有特別討論到det(A)=0時的狀況。

看了一下參考書中有稍微提到，

如果det(A)=0，

那除了直線以外還有可能變成一個點。

我好奇的是

det(A)=0，

總共會出現哪些種狀況，

要怎麼一般性地討論呢？

(比方什麼狀況是直線、什麼狀況是一個點)

請教各位前輩了！

--

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.169.164.169

推 turboho :這就是線性代數裡eigenspace, eigenvector的觀念 01/27 10:06

→ turboho :想深入了解的話去找本基礎的線性代數來念吧 01/27 10:06

→ yhliu :如果是平面向量問題, 線性變換矩陣可逆時, 直線變換 01/27 10:07

→ yhliu :後仍是直線. 該矩陣不可逆時, 除了 0 矩陣之外, 直線 01/27 10:09

→ yhliu :經變換後仍是直線的情形是該直線某個特定方向. 例如 01/27 10:10

→ yhliu :A = [ 2 3 ; 4 6 ] (第一列 2, 3; 第二列 4, 6), 則 01/27 10:13

→ yhliu :所有 t(3i-2j) 形的向量變換後仍是 s(3i-2j) 形, 只 01/27 10:14

→ yhliu :是乘數 t 變成 s (事實上 s = 8t). 這直線也就是 1F 01/27 10:15

→ yhliu :說的, 對應非零 eigenvalue (本例為8) 的 eigenspace 01/27 10:16

→ yhliu :我似乎錯了! 01/27 10:21

→ yhliu :設 A 的 eigenvectors 是 u 對應 0, v 對應非 λ≠0 01/27 10:24

→ yhliu :直線是通過 au+bv 與 cu+dv 兩點, 上面的點一般式是 01/27 10:25

→ yhliu :p = t(au+bv)+(1-t)(cu+dv). 則變換後是 01/27 10:25

→ yhliu :Ap = tb(Av)+(1-t)d(Av) = [d+t(b-d)]λv. 01/27 10:28

→ yhliu :當 b≠d 時, 結果仍是一直線; 當 b=d 時,結果是一點. 01/27 10:28

→ alwaysapie :那可以這樣說嗎？ 01/27 11:33

→ alwaysapie :當det不為零時，則直線經線性變換後仍為直線。 01/27 11:34

→ alwaysapie :det=0時，則直線經線性變換後為一個點 01/27 11:34

→ ma4wanderer :前面對後面不見得 01/27 12:03

→ alwaysapie :怎麼說呢？ 01/27 12:14

→ BLUEBL00D :det(A)=0 => A^(-1)不存在 => 變換不可逆 01/27 13:08

→ BLUEBL00D :多點對一點時不可逆 01/27 13:09

→ BLUEBL00D :只要是多點對一點的情況都可能是A變換的可能性 01/27 13:09

→ alwaysapie :那有沒有高中程度可以聽得懂得推導呢？ 01/27 13:12

→ BLUEBL00D :補充:因為一對多不算是函數 01/27 13:12

→ alwaysapie :謝謝y大可是有沒有高中可以看得懂的說法呢 01/27 13:13

→ harveyhs :其實可以想說 detA = 0的時候就是前後兩個空間 01/27 18:52

→ harveyhs :"不一樣大"，所以維度會少 01/27 18:52

→ harveyhs :啊XD那個"所以"只是講話習慣，沒有要代表因果關係 01/27 18:53

→ alwaysapie :謝謝各位大大指教！！ 01/28 03:37

→ yhliu :從 R^2 到 R^2 的線性變換, 如果變換矩陣 A 的行列式 01/29 01:12

→ yhliu :是 0, 則整個平面是映到一條通過原點的直線. 01/29 01:13

→ yhliu :修正: A 是 0 矩陣時除外, 此時所有點都映至原點. 01/29 01:15

→ yhliu :平面上一直線經變換後或者是一點(如果此直線垂直上述 01/29 01:16

→ yhliu :變換後的值域), 或者與值域重疊, 也就是仍為一直線. 01/29 01:16

→ sneak : 直線是通過 au+bv https://noxiv.com 01/02 15:40

→ muxiv : 謝謝各位大大指教！！ https://moxox.com 07/07 11:50

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