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v矩陣 擴充 在 Re: [線代] 矩陣AB=I => BA = I 嗎- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
如果是看 Friedberg 的話，是有一個抽象的證明可以參考，不牽涉矩陣運算。
考慮以下事實：
1. 任意向量空間 V 有 basis X，並且任意函數 X --> W 到向量空間 W
可以擴充成唯一的線性轉換 V --> W，也就是說 V 是由 X 自由生成的向量空間
若生成集 X, Y 間的基數相同，則生成的向量空間同構。
2. n by m 矩陣決定一個 F^n -> F^m 的線性變換，也就是說 AB = I
相當於說有兩個在相同維度的向量空間間線性變換 f: V -> W, g : W -> V
滿足 g f = id 。從這邊得知 f 是 injective 的
把矩陣轉成線性變換之後，事情就好做多了：
1. 注意到 f[X] = { fx | x in X } 是線性獨立的：
假設 f[X] 線性相依，有一組非零系數 a_i 使得以下成立
a_1 . f(x_1) + ... + a_n . f(x_n) = 0
那麼套入 g 得到
a_1 . gf(x_1) + ... + a_n . gf(x_n) = a_1 . x_1 + ... + a_n x_n = 0
得到 gf[X] = X 是線性相依，故與前提 X 是 basis 矛盾
2. 因為 | f[X] | = dim(V) = dim(W) 以及 f[X] 線性獨立，
所以 f[X] 是 W 的基底，並且 f 的 image f[V] 就是 W
所以 f 是 isomorphism，對應回來的 B 是可逆矩陣就結束了～
※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: ※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: : 反方陣的定義
: : AB = BA = I，則 B 稱為 A 的反矩陣
: : 如果只有 AB = I 那是否必然 BA = I 呢
: : 如何證明？
: 分兩步驟，
: 第一步驟，證明A存在右反方陣的時候，會存在左反方陣
: 第二步驟，當一個方陣A同時存在左右反方陣的時候，這兩個方陣相等。
: 第二步驟比較好證，一行就結束，你自己想。
: 第一步驟就要中規中矩來了。
: pf: 令A為n*n方陣, 設存在 B 使得 AB=I,
: 則代表 A 化為 echelon form 時不會有非0的列 (即rank A = n)
: 為何呢？以 3*3 為例, 假設 A 不如此,
: 你把矩陣乘法 AB=I 想像成 A*(B的第一col)=[1 0 0]^T
: A*(B的第二col)=[0 1 0]^T
: A*(B的第三col)=[0 0 1]^T
: 不管對A作哪種列運算, 右側的[1 0 0]^T也好、[0 1 0]^T也好、[0 0 1]^T也好
: 你不妨觀察這些特殊的行矩陣(I的各個column)的特性,
: 發覺不管反覆做哪三種列運算, 絕不可能最下面的entry同時產生0,
: 這有點難, 如果你覺得你不好想像, 就不妨拿張計算紙自己試試看
: 因此一定會在有個什麼 A*(B的第n個col) = [ 0 ... 1(somewhere) ...0]^T
: 的時候, 增廣矩陣寫完最下面產生什麼 "0 0 0 0 0 ... 0 | 常數" 這種樣子
: 換言之(B的第n個col)無解. 也就是B不存在, 也就是 A 沒有右反方陣, 與已知矛盾.
: 嗯, 所以 rank A = n.
: 又 rank A= n時, A可以列運算成 I(自己查課本)
: 也就是左側可以成一大堆基本矩陣, 好比 E5E4E3E2E1A=I
: 故A也有左反方陣(就是E5E4E3E2E1), 得證.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 78.52.120.172
※ 編輯: xcycl (78.52.120.172), 02/28/2015 22:06:00
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