【摘要】
從拉氏 (Laplace) 轉換的定義開始，然後計算了幾個基本函數的拉氏轉換的結果，並條列了拉氏轉換的重要運算律 (如函數微分、積分或折積以後的轉換公式)，到特殊函數 (如單位脈衝函數，Dirac function) 的拉氏轉換，最後以兩個拉氏轉換再解微分方程上的應用作結
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EP01：向量微積分重點整理 (https://youtu.be/x9Z23o_Z5sQ)
EP02：泰勒展開式說明與應用 (https://youtu.be/SByv7fMtMTY)
EP03：級數審斂法統整與習題 (https://youtu.be/qXCdZF8CV7o)
EP04：積分技巧統整 (https://youtu.be/Ioxd9eh6ogE)
EP05：極座標統整與應用 (https://youtu.be/ksy3siNDzH0)
EP06：極限嚴格定義題型 + 讀書方法分享 (https://youtu.be/9ItI09GTtNQ)
EP07：常見的一階微分方程題型及解法 (https://youtu.be/I8CJhA6COjk)
EP08：重製中
EP09：反函數定理與隱函數定理 (https://youtu.be/9CPpcIVLz7c)
EP10：多變數求極值與 Lagrange 乘子法 (https://youtu.be/XsOmQOTzdSA)
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EP12：Fourier 級數與 Fourier 轉換 (https://youtu.be/85q-2nInw7Y)
EP13：換變數定理與 Jacobian 行列式 (https://youtu.be/7z4ad1I0b7o)
EP14：Cayley-Hamilton 定理 & 極小多項式 (https://youtu.be/9c-lCLV4F0M)
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#拉氏轉換 #拉氏反轉換 #解微分方程
laplace transform公式 在 Re: [理工] [工數控制]-u(t)的拉式- 看板Grad-ProbAsk 的推薦與評價
※ 引述《ckris1945 (ckris)》之銘言：
原文吃光光
一般沒有講清楚的話
所謂的 Laplace Transform 會定義如下:
∞ -st
L{f(t)} = ∫ f(t)e dt
0
可知當 f(t) 不論等於 1 還是 u(t)
L{f(t)} 皆為 1/s
-1
那 L {1/s} 到底要寫成 1 還是 u(t) 呢?
---
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
首先看一下維基百科上的 inverse 公式:
1 r+iT st
f(t) = ── lim ∫ F(s)e ds
2πi T→∞ r-iT
這個公式可以由 Fourier Transform Pair 直接推出來
但其相對應的 LT 公式型態卻非我們常用的
而是:
∞ -st
L{f(t)} = ∫ f(t)e dt (注意到積分下限是負無窮大)
-∞
上面的轉換又稱為 Bilateral Laplace Transform
也就是完整的 Laplace Transform Pair 為如下:
∞ -st
┌ L{f(t)} = F(s) = ∫ f(t)e dt
│ -∞
│
│ -1 1 r+iT st
└ L {F(s)} = f(t) = ── lim ∫ F(s)e ds
2πi T→∞ r-iT
這樣的定義就能確保 f(t) 和 F(s) 皆為 one to one mapping (如果積分皆存在)
------------------------------------------------------------------------------
回到你問的問題
若你能接受上述的定義
那應該不難推論出
當 f(t) = 1 時
套 Bilateral Laplace transform 反而會發散
而 L{u(t)} = 1/s for Re{s}>0
-1
因此 L {1/s} = u(t) if Re{s}>0
寫 1 , 嚴格上算錯的
另外若問 1/s 的 inverse Laplace Transform
完整上要這樣寫:
-1
L {1/s} = ┌ u(t) if Re{s}>0
└ u(-t) if Re{s}<0
只是我們在討論訊號時
通常是把 t=0 視為初始時間
而討論訊號 t>=0 的變化
所以做 inverse LT 時
在 s-domain 下所考慮的區間
就只會做對應到 t-domain 在 t>=0 時才有訊號
若想辦到以上所述
最直接的方法就是把訊號 f(t) 整個乘上 u(t)
如此一來再套 Bilateral Laplace Transform 時
就會變成一般熟知的 Laplace Transform :
∞ -st
L{f(t)u(t)} = ∫ f(t)u(t)e dt
-∞
∞ -st
= ∫ f(t)e dt
0
結論就是
做完 inverse LT 後
養成習慣，把整個 f(t) 再多乘上 u(t) 就對了
(可以看維基百科上所列的公式，都有乘上 u(t) XD)
當然不乘上 u(t) , 而在後面註明 t>=0 也可以
只是兩者的涵意不太一樣
乘上 u(t) 後
才是完整的 inverse Laplace Transform (相對應於 s-domain 的某區間)
只有註明 t>=0
代表只考慮 f(t) 在 t不小於0 的值
而在 t<0 下，就未定義(或計算) f(t) 之值
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