[想攝影145] 細說分鏡 Vol.22
🎥 影片時間連結:https://youtu.be/3XpWY8Xbe5U?t=316
🖍我的課程,每一堂課的設計
🖍並沒有華麗的外在標題
🖍既不追求速成、速效
🖍也無法讓你覺得大開眼界、值回票價
「老師,課程快結束了,你有開進階課嗎?」這問題這幾年教完基礎課,我一直被問到的問題,一開始是沒有什麼進階課程,但經過數次的課程更新,上課速度放得慢一點,增加更多說明與例子,再把一些我覺得「真的對學生稍難」的課程,另外獨立出來,我的入門課程,從 2012 年初的 6 堂課,到現在共有 12 堂,再另還有 6 堂進階課,所以這個問題答案是「有的」
🟥課程設計想法不同
「蛤? 你單就對焦、光圈,就花 2 堂課,4 小時來教哦?」 別人一節課不但都講完,也把快門、ISO 等等全都講完了,為什麼你要花這麼多時間來講?
嗯,雖然沒有上過別的基本攝影課,但有參考別人的課程大綱、講義,如果真的要我一堂課講完曝光三元素 – 快門、光圈與感光度,我當然可以,甚至快的話,可以在 10 分鐘全部講完,有什麼難的? 但為何我不這麼做? 單單「對焦」我就可以講近 2 個小時,因為背後對於「整個所有課程設計想法」是有很大的不同。
前面幾篇文章,約略談到「構圖」對我的意義,也提及到「構圖技巧」與「構圖」的關係,但有一點是沒有提到的,當要開始「構圖」,也就是要說一個故事之前,我們該如何進行第一步 – 對焦,先將一張照片主角放進去,透過對焦,讓主角更加清楚,讓觀眾一眼就看得出「誰,是這張照片該看的」,不用其它的言語輔助,對焦就能達到這一點。
這樣就要花 2 個小時去講嗎? 這當然不只如此,要簡單認識相機、鏡頭結構、如何達成對焦、對焦在不同處,清楚的「主角」不同,背後隱含的意義有什麼差別? 又或著問最根本的問題 「我們幹嘛要對焦」,一張照片可不可以不要對焦? 如果要對焦的話,在實際拍攝流程,該放在一開始? 還是邊構圖邊對焦? 構好圖再對焦可不可以?
更常看到的,很多初學者根本「完全不在意對焦」,無論是手動、自動對焦、對焦的形式,一點也不去管,彷彿「對焦」這件事,在他拍照過程完全消失,只管照片裡頭元素的擺放、呈現形式,遇上更誇張的是,有些初學者拍了一整天,相機一直切換至「MF 手動對焦」都不去在意。
🔹這些問題在這幾年都會被台下同學問到,進而重新調整講義,希望在同學舉手發問時,不是後頭的講義有準備到答案,不然就是等著同學提問,好讓我進一步來談談「對焦」更重要的意義 – 一張照片的故事、靈魂就從「對焦 – 主角」展開,一個故事,沒有主角,自然就沒有下文,更難去構圖,甚至就算拍完照片,這張照片也說不出個故事,也更無法呈現你與這張照片的「連結、關係」也答不出所以然。🔹
🟥談談故事的「主角」
.「即將上映的電影「007:生死交戰」終於要上映了」
.「電影 “魔戒” 若是一句話講完,就是一個人,千辛萬苦把戒子帶到大老遠的地方,把它熔掉的故事」
.「ㄟㄟㄟ,聽說 A 跟 B 他們有點曖昧,每天中午經常一起下樓買飯,他們會不會是情侶啊」
.「我聽說隔壁東西要漲價,這樣子以後我就可能不去吃了」
.「今年第 3 號颱風 – 櫻花颱風已經成形,位於我們東南方海面 1500 公里…」
任何一篇故事、小說、電影、戲劇、舞台劇、歌舞劇,還是我們市井小民日常生活閒談、八掛,或是電視新聞,甚至是氣象預報,無論時間長度、字數多少,以上每一種「故事」裡頭都隱含著我們討論的焦點 – 主角,在裡頭,整個故事才能繼續往下推展。
如果你打開電視,隨意看著一部播到一半的電影,你該如何判斷出誰是這部電影的主角?
「鏡頭最多的那一位」(這一定是)
「對話最多的」 (這通常也是)
「最帥的、最美的」 (大多都是)
「正義的一邊」 (通常)
「主角,通常不會死」,這是最常聽到的說法,總是死裡逃生,槍林彈雨總是沒任何一發子彈打中他,就算打中了也不會致命,總是在身體邊邊角角不礙事的角落,就算命中要害,沒事的,很快救援就來,沒事沒事,但也是有主角最後真的死去的故事,最有名的莫過就是「鐵達尼號」,裡頭主角「傑克」在全長近 3 小時的電影,最後十幾分鐘才沉入冰凍的海裡。
若是一部「沒有主角的電影」,主角在電影播放第一分鐘被賜死了、消失了,那故事還能如何推展下去呢? 即使主角真的第一分鐘就「消失了」,那應該也是採用「倒敘法」方式訴說後頭的故事,若整個電影沒了主角,自然就沒有意義,更不會被拍攝出來。
🟥對焦與主角
🔹電影,某程度可以說是「連續不停播放的照片」,在電影播放時,你按下「暫停鍵」,不就等於是一張「照片」了嗎? 🔹
無論在何時暫停,每一秒的鏡頭,都是導演與剪接精心設計的「分鏡」,想傳達一些概念在裡頭,讓故事合理、節奏流暢、或是輔助說明,沒有一個分鏡浪費時間,若是以奧斯卡眾多獎項中「最佳剪輯獎」或許可以說明,好的剪輯可以讓一部原有的故事更加出色,既然可此,無論電影播放到哪,任何一刻按下暫停所呈現的畫面,我們都可視為充滿「故事性」的照片。
🔹我們並不是拍電影,也不是微電影、短片,我們拍的是「靜態攝影」,相對就簡單多了,只需要拍攝「一張照片」就好,並且為了要訴說這張照片的故事,以及背後的「創作動機」,我們得要好好朝著這目標,在眼前的景像,眾多的事物中「尋找出主角」,並且搭配「構圖技巧」,好讓一張照片完成後,有著你想說的故事,有著這張照片代表的意義在裡頭。🔹
當在說明這張照片故事,必然說說創作動機,而「為何這個放這裡、為何比例是如此、為何曝光如此呈現」這些都構圖技巧,最後你仍需要說明這張照片,所要傳達的「故事」,故事自然是從主角開始展開,那麼「對焦」這件事情,必定為選定一張照片的「主角」,所有的故事都從主角開始展開,自然是故事的重心。
🔹照片的「重心」,並不是視覺上的重心,而是所有這張照片存在目的,就是為了「他」才開始一連串拍攝工作的準備、路途的跋涉,全都是為了「他」,照片才有存在,才有了背後的故事,又或著是說,這張照片就是為了證明事件的存在、證明你的心中的追求,又進一步可以說,在眾多你所拍照的照片,背後隱藏的主角,其實就是「你自己」。🔹
「好的導演,會從電影最後一幕開始推起整個故事」,當電影第一秒開始,所有的故事鋪陳、轉折、悲歡離合,就是為了最後一幕所準備,隨著電影謝幕升起才算是最後的 ENDING 。
我覺得這觀念跟「攝影過程」蠻像的,無論拍攝一張照片中間歷經多少曲折、起伏,觀眾所看到的「就是成果而已」,事前所有的準備,包含每個攝影工具的準備、行程規畫、拍攝技巧的磨練,不就是為了「最後的照片」存在嗎? 這所有的過程就是為了最後一幕能夠完美誕生 – 也就是這張照片,從這個角度去想你一張感動自己的照片,是不是讓你有著蠢蠢欲動的念頭,也來想試著動動筆、動動口,來為這些作品說說背後的故事,其實也就是交代與分享你自己的故事。
🟥HOW 很重要
但更重要的是「WHY」,我認為「為什麼 WHY」比「怎麼做 HOW」來得先、來得重要,也許這跟我從小學習的個性有關,我總是希望知道「為什麼這門課是必修」,而想著不是「如何把這門課學得好」。
讓我想到求學時期的故事,面對一題數學問題,不懂當然問懂得同學,他們給我的感覺通常是不假思索的說「就帶 XX 公式就好了啊」,心裡不免「蛤,你們都這樣子死記哦? 都不去想為什麼一定要這麼做嗎?」這種感覺,但最後到底誰對? 當然他們是對的,誰對或錯又該如何判別? 看誰考高分、誰過關、誰被當,一翻兩瞪眼,沒有好爭論的。
偏偏我又是理組的,計算數字哪怕差個 0.01 都是錯的,用誇張一點的比喻的話,這個 0.01 的誤差可能會炸掉一間工廠,或是燒掉一隻手機,確實數學「計算得精準」是很重要的,至於為什麼要用 XX 公式? 在那時候對我「並不重要」,若我真想證明可以不要用 XX 公式也能計算出來,可能要到研究所,或是更高深的學位,這問題才比較適合被提出來。
我這「WHY 比 HOW 看得更重的個性」,不大適合讀理組,轉到社會學門就太適合了,社會學門面對問題,通常比較不給定一個確定的答案,比較傾向思考答案之外,有沒有其它的可能,只要你說得通,理論帶進來解釋得好,就不像是理組考題「不是對就是錯」,而社會組的答案,比較像是「哪個理論解釋得更好、更適合」,這樣子我反而駕輕就熟,讀得自在也符合我的個性。
🟥課程設計精神
🔹若是在戶外拍攝時,你我只是片面之緣,問我「拍的太亮怎麼調整」,我用「十秒鐘的時間」告訴你如何操作「曝光補償」來達到你想要的;但如果是在課堂上,要清楚了解曝光補償,我得要花 4 小時時間先講講「測光」與「測光公式」,再花 2 小時講講曝光補償原理,以及實際相機操作過程學習,懂了以後你才了解「曝光補償」那不到 10 秒的動作,原來背後是 6 小時的學習,是這麼多要學的概念。🔹
你想要哪一種? 不同的學生要的不同,攝影教學快 10 年,遇上各式各樣、老的少的、男的女的各種形形色色的學生,總是得因應不同學生上課目的,選擇一種適合的教法來迎合學生才行,現在,不如也想想這問題「你願意花上近 6 小時間來學習 10 秒鐘就能操作完的動作」還是「我只要知道怎麼做,背後為什麼我不想知道」。
🔹課程設計大綱越是看起來精彩、豐富多元,當然在競爭的市場上,更容易得到學生的青睞,這一點我並不否認,我的課程大綱,無法帶著你爬上山、跳下海,讓你知天文通地理,因為每一堂課的內容,我總是希望帶著更多的 WHY 在裡頭,讓你在懂得 HOW 之前,是了解自己為何要「這麼做」,當你更了解每一個動作背後基礎是這麼一步步推展而來,這並不是走冤枉路,而是為你打下更多未來創作的基礎,也許課程結束短暫時間你無法體會,但相信若你繼續朝著更深、更多元的攝影主題鑽研,你所花的時間與精力,在那時會漸漸現出來,這點是我設計課程的精神,也正我對攝影教學的堅持的地方。🔹
你說若採用這樣子精神,設計每一課、每一個觀念、每一個章節、每一個投影片,直到每一句話,有辦法在短短的時間,教會你更多東西嗎? 我,是做不到的;但如果我們講求「速效」,簡單了解基本做法與原理,然後帶著設備直接開始拍攝,遇到不懂再回頭來討論問題,這樣子不好嗎?
也沒有什麼不好,這點在前幾篇文章我也提到過,因為學習攝影不是個「單程車票」,總是在「基礎 – 創作」之間不斷的來回,從偉大的作品中發現精華點,再回頭看看自己哪裡不足,再做更多嚐試重新創作,但如果你的基礎不夠好,是無法識讀那些讓人感動作品背後的心血如何達成,反之若你不適當踩個煞車停下來思考自己的缺失檢討,要再突破自己的界限也是有限。
先準備齊全後再出發、再回頭檢討? 還是先有了簡單的認識,先出發再說,遇到困難再回頭,哪一種教學課程設計比較適合? 沒有哪個比較好,只是哪種方法適合你,而我的課程設計採取「前者」,希望你準備更齊全後再出發,失敗了、遇上問題了再回頭檢討、再出發,同時我的求學過程那些挫折經驗,以及轉換不同領域後學習的經驗,讓我強調「為什麼 WHY」,比起告訴你「如何做 HOW」來得更重要,不希望你一開始朝著飛翔前進,只希望在往前踏第一步前,先試著問自己「為什麼」,而不是「如何走得好」。
🟥蘇格拉底之死
我常問學生「哲學家蘇格拉底是怎麼死的?」,大多數學生認為「人,總是一死」帶過這問題,知道故事的學生會說是被賜毒酒死的,但我總是開玩笑說「他是被人 “討厭” 死的」。
🔹為何這麼說? 蘇格拉底總是到處問人「為什麼、為什麼」,最敏感也不能問的問題 – 為什麼你要信上帝? 上帝是誰? 真的存在嗎? 信他有什麼好處? 這些不該問「為什麼」的問題惹怒了掌權的人,覺得他是個挑戰威權的無神論者,要他做二個選擇,要嘛認錯相信上帝,不嘛就喝下毒酒去見上帝,此時我相信蘇格拉底喝下毒酒後可能心裡還在想「喝下毒酒,人為什麼會死」吧,我猜。🔹
我不敢拿我自己跟蘇格拉底相比,我也不想淪落到蘇格拉底最後的結局,在面對有限的時間,以及市場彼此競爭之下,儘管我多麼想在一個觀念上做更多的「為什麼的討論」,但學生總是需要更多的實作,以應付未來,或是即將到來的問題 – 我需要學會攝影,來做一點什麼事情,而近期的課程,也試著平衡「WHY 與 HOW 」的比例,這才是我更該做的。
所以我自認我的課程大綱,沒有華麗的外在標題,本身設計也不追求速成速效,更無法讓學生能有一種「哇,一門課可以學到超多東西」的感覺,這些都是我自認的缺點,也只有認同我的想法的學生,願意嚐試上上我的課程,我都非常感激。
也有學生、朋友建議我「既然課程內容這麼多,再拆細一點,多元一點」讓不同需求的學生,選擇更多,如果一味追求「開課、賺錢」,似乎又與我的個性相違背,但這又是另外一個可以好好開一篇數千字的文章來分享,這裡,就讓我們跳過吧。
或許目前開設的線上課程 – 終生閱讀的線上課,較能解決這個問題,若想學得快一點,每天都看一集,並且用 1.5 倍速度播放,觀念學到了,不懂再重頭看;若想要慢慢看的也沒關係,一周看一集,一集看二次都沒關係,享受每天都進步一點的感覺。
再應因疫情下的困境,所以,這樣子的線上課程就這麼「上線」。
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【處處極限不存在的函數】
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我記得自己剛升大一在學習微積分的時候,教授問了一個問題,「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」,那時候我想了很久,總是想不出來到底要怎麼設計,才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是,如果要在任意點的極限都不存在的話,那可能要先解決一個問題,那就是在設計了一個在某一點,例如說 a 點,極限不存在的函數以後,要如何改造這個函數,才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
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(接下來的內容,建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來)
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舉例來說,如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數(例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0;而當 x 大於 0 時其函數值均為 1),那麼要如何改造或調整這個函數,才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢?針對這個例子而言,或許可以這樣做:先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5,那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在,但因為 1 並非 0「旁邊」的數字,所以顯然還要再調整,於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5,那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在,但同樣地,因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字,所以我們繼續調整這個函數,下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5,依此類推,再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5,持續這樣的步驟,最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在,但是原本在調整時的兩點極限不存在,卻因無限持續這樣的步驟,而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
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之所以會產生這樣的狀況,是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此,那如果不要持續上面的步驟無限次呢?如果僅持續有限次的步驟,那麼在該次步驟的下一次,一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些,這個推論的結果就是,如果僅持續有限次上述的步驟,那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果,無論是有限次或無限次操作上述的步驟,最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪,因為這意味著從一個點的極限不存在出發,去逐步改造出一個處處極限不存在的函數,方向很可能是錯誤的。
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那麼,該怎麼辦呢?
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面對這個問題,當時的我最終並沒有自己解出來,而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來,並告訴我他的想法。
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他告訴我,既然從一個點的極限不存在開始是行不通的,那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧!例如一開始的函數乾脆設定成這樣:當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時,將其函數值設定為 0,而其他地方則設定為 1。例如,當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時,其函數值就是 0,而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時,其函數值就是 1。如此一來,我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
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以此為起點,比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點,似乎好像有了長遠的進步,但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點,那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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為了解決這個問題,我的朋友告訴我,下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話,大概是這樣操作:例如,在 0 和 1 之間,函數值原本都是 0,但接下來把這個區間切割成 10 等分,然後第 1、3、5、7、9 個區間(也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間),我們把函數值調整成 1,其餘的不動,那麼我們就可以得到一個,除了在所有整數點極限都不存在的函數以外,這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間,則在等分割成 10 個區間以後,將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話,那麼在每一個整數區間(就是 n 到 n + 1 的區間)裡面,其十分位數的位置其極限都不存在。
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接下來,再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間,然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0,而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間,但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1,那麼,這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外,但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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再接下來,繼續進行上面的動作,不斷地十等分分割之前產生的區間,並且適當地調整其函數值,使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ,或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態,持續無限次,最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版,這邊我們先講簡單版,以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言,固定任何一點 a,其左極限只有兩種可能,0 或 1,但因為這個函數被分割地非常地密,而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動,所以這個函數在 a 點的左極限不存在,因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後,因為 a 這個點是任意取的,所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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這個答案真的很猛,因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因,也因為我們還沒學到極限的嚴格定義,所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在,但現在回想起來,那位奧數朋友還是很猛!因為他就好像那種天生的小說家一樣,信手拈來就寫出了一本傑出的小說,而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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講到這裡,今天的故事似乎已經講完,但其實還沒,因為這樣聰明的人,並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題,其實在 19 世紀時,就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家,他所創造出來的一種函數(後來稱為 Dirichlet 函數),就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下:當 x 為有理數時,其函數值是 1;當 x 不為有理數時,其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在,也是我教授當時給同學們預設的答案。
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在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了,但我有拍一部影片來說明,如果你想繼續看下去,可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片,我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在,但其實當初 Dirichlet 所面對的問題,並非「是否存在處處極限不存在的函數」,而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後,Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數,而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且,除了無法圖像化以外,Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位,因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期,那麼就會存在最小週期,但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數,因為任意有理數都是它的週期。
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關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊,或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章,不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的,所以如果真的要寫的話,那可能就還要再等一陣子了。
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最後,跟大家介紹一下我上面所提到的影片,那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材,近期我會開始陸續上傳到這裡,但不是每一部影片都會寫文章來搭配,所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看,而且不漏掉系列裡每一部影片的話,可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道;如果你想一次看完我全系列的影片的話,可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道,上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用,如果你想要取得該電子檔的話,請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章,並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論,然後私訊我的臉書粉專,我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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感謝你的觀看,希望這篇文章對你有所幫助,有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外,本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD,若你也有上面提到的那些帳號,歡迎按讚、分享和關注!
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【為什麼學微積分要先學極限?】
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微積分是一門關於微分與積分的學問,微分是探究瞬間變化程度的學問,積分是探究一範圍內累積量值的學問。例如一運動物體在某時間點的位置瞬時變化率(瞬時速度),那就需要微分;又例如計算一區域在地圖上的面積,那就需要積分。當然如果前面提到的運動物體是等速度運動,又或者在地圖上的區域其形狀恰好是三角形或矩形,那就可以用基本數學公式得到運動物體的瞬時速度和區域面積;但是,一般而言,運動物體不會是等速度運動,而地圖上的區域大多是不規則的,因此,微分和積分的技術就成了解決這類問題的關鍵。
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不過,既然是要學「微分」和「積分」,那關「極限」什麼事呢?是這樣的,在有微積分以前,人類是沒有公式來處理不規則變速運動的物體的瞬時速度,也沒有公式來計算不規則圖形的區域面積。面對這樣的問題,我們只能從過去的經驗和既有的公式來思索,看看是否可以透過一定程度的調整來解決問題。
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就瞬時速度而言,我們所希望的是能夠計算出一運動物體在某一個時間點的瞬時速度,也就是在某一時間點的位置變化率。你可以試想,一個正在用不規律速度行駛的車子,他前進的速度本來就會有時快、有時慢,那麼,我們是否有能力將這個車子在每一個時間點的速度都賦予一個量值呢?如果這個量值越大,就代表速度越快,反之代表速度越慢?這乍聽下來好像可行,但在還沒有微積分的時代裡,若再進一步細想下去,就會覺得很怪。因為要計算一運動物體的速度,就需要該運動物體在「兩個時間點」的位置;然而,瞬時速度只關心運動物體在「一個時間點」的狀態。也就是說,實作上在求瞬時速度的時候,會遇到一個難題,那就是只有一個時間的位置,所以無法求速度。
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為了解決這個問題,我們退而求其次地,在所關心的時間點以外,物體運動的時間範圍內,離所關心的時間點附近再取一個時間點,然後用這兩個時間點的速度,來「暫時」取代該物體瞬時速度。之所以用「暫時」這兩個字,顯而易見地,就是這個量值一般而言並不應該就是我們要的瞬時速度,因為只要多取出來的時間點不一樣,就很容易算出不一樣的值。但這個辦法並非沒用,而是在微積分還沒開始發展的那個時代裡,我們必須引進一個新的概念,那就是「極限」。
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既然在所關心的時間點外在取一個時間點來算的速度並無法做為瞬時速度,那麼如果把另外取的時間點無限逼近所關心的時間點呢?這是一個相當好的想法,雖然可能還有很多細節需要處理,但基本上這個逼近的動作,已經解決了算瞬時速度的問題,這是因為直觀上不管大家一開始所取得的所關心的時間點以外的時間點有多不一樣,都會因為做了「逼近」這個動作而使最後的所得到的結果一樣(當然這必須證明「逼近」這個動作最後算出來的答案是唯一的,而這部分確實後來的數學家有順利解決,我們在此暫不討論,也許以後有機會再專門寫一篇關於這主題的文章)。
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因此,後來我們就用這個方案來算運動物體在某一時間點的瞬時速度,而這個方案裡面的計算方式,在經過數學家們的檢驗和嚴格化以後,就發展成了日後我們講的微分,而該計算方式裡面所提出的「逼近」的概念,其動作最後也就是我們講的「取極限」,所以為什麼在學微分之前要先學極限?因為微分這個動作,其本質就是取極限的過程。
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積分也有類似的過程,為了算不規則的區域面積,我們先把這個區域分割成很多個可用簡單公式計算的矩形(邊界的地方可以自訂一個規則超過一點或縮小一點),然後先用這些矩形的面積總和「暫時」代替原本要求的區域面積;但很顯而易見地,這些矩形面積和並非原本要求的區域面積,所以我們就把這些矩形分割得越來越細,只要這些矩形能夠分割得越細,他們的面積總和就會和原本要求的區域面積越來越接近,姑且不論其實作的細節,這個透過無限分割使矩形面積和逼近原本要求的區域面積的過程,也用到了「極限」的概念。
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所以如果你打開微積分的課本,卻在一開始看見要學一整章的「極限」時,請不要意外,因為學數學就像蓋一棟樓一樣,你或許期待微積分這棟樓能建得高大,但別忘了凡是越高大的大樓就需要越強健的地基,而「極限」就是微積分這棟大樓的「地基」。把極限學好,後面才有足夠的內力和體質去學習和發揮微分和積分這兩大絕學。
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而要學習極限,雖然有一段路要走,但凡事都可以先從最簡單的內容開始。我在 2020 年時拍攝了微積分的系列教學影片,如果想從零開始學習微積分的話,可以先從我的極限篇裡面的第一部影片「極限的直觀定義」開始看起,我把這部影片的連結貼在下面留言處。
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這系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材,近期我會開始陸續上傳到這裡,但不是每一部影片都會寫文章來搭配,所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看,而且不漏掉系列裡每一部影片的話,可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道;如果你想一次看完我全系列的影片的話,可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道,上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用,如果你想要取得該電子檔的話,請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章,並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論,然後私訊我的臉書粉專,我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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數學很簡單教學講義 在 數學老師張旭 Youtube 的精選貼文
【摘要】
本影片練習找簡單型的分式函數的不連續點
【勘誤】
無,有任何錯誤歡迎留言告知
【習題】
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簡答:可在張旭的生存用微積分社團下載
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【附註】
無
【丈哥的話】
嗨!大家好,我是丈哥
主題二是個比較輕鬆的單元
因為有了運算律
所以很多事做起來都很方便
但還是要練習練習
如果你喜歡我們的教學影片
請幫我分享給更多正在學微積分的同學們,謝謝~
【學習地圖】
【連續篇重點二習題】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXj5enD9Il6hP5hom2ZSJ30V)
習題 2-2 👈 目前在這裡
習題 2-4 (https://youtu.be/zG9-NYDol9c)
習題 2-6 (https://youtu.be/O892_L88YTE)
習題 2-8 (https://youtu.be/VtAOOSPBThA)
習題 2-10 (https://youtu.be/9L4GpTXqpe8)
【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師與丈哥 (王重臻) 共同所有
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#張旭微積分 #連續篇習題 #丈哥講解
數學很簡單教學講義 在 數學老師張旭 Youtube 的最佳解答
【摘要】
本影片繼續練習第一型的微積分基本定理,不過針對的函數從最簡單的次方函數改成了三角函數,難度沒有提升很多,依然在訓練基本功
【勘誤】
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【微分篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiPgR9GLKtro3CTr6OIgdMg)
【微分應用篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjNzXUa9hI2IfknA8Q7iSwE)
【積分篇】
重點一:定積分直觀觀念 (https://youtu.be/gOuE68S3kXw)
重點二:奇偶函數的積分 (https://youtu.be/-UOnX6PWogc)
重點三:定積分正式定義 (https://youtu.be/9igA5vuk5Zc)
重點四:積分運算性質 (https://youtu.be/WOyCaUMVmbw)
重點五:微積分基本定理 I (https://youtu.be/T3o_OU2J9ss)
├ 精選範例 5-1 (https://youtu.be/vckfX-_YDLg)
├ 精選範例 5-2 👈 目前在這裡
├ 精選範例 5-3 (https://youtu.be/-2lTNk9g6g8)
└ 精選範例 5-4 (https://youtu.be/p9RGdYv15QA)
重點六:不定積分與反導函數 (https://youtu.be/fJhHZ9Hk1ec)
重點七:雙曲函數 (https://youtu.be/gfjGpy-pNIs)
重點八:積分表 (沒有講解影片)
重點九:四大積分基本方法之一:變數變換法 (https://youtu.be/trMid_t8_us)
重點十:四大積分基本方法之二:三角置換法 (https://youtu.be/VL--z89nYBs)
重點十一:四大積分基本方法之三:分部積分法 (https://youtu.be/VwUK8_JAuwk)
重點十二:積分表 (沒有講解影片)
重點十三:四大積分基本方法之四:部份分式法 (https://youtu.be/FDxrP8FT3yE)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
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數學很簡單教學講義 在 吳老師教學部落格 Youtube 的最佳解答
如何用EXCEL VBA匯整12個月資料到總表
這是在東吳大學進修推廣部的VBA進階課上課的範例,
先學會如何將大量工作表整合在一個工作表 [連結]
接下來補充網路學員問到如何匯整12個月資料捐款明細到總表的問題,
他是先用錄製巨集之後再來修改為迴圈,
給1到12月工作表範圍,於是就可以自動將資料"貼到"總表之中。
但是,
最大的問題是:
1.如何錄製巨集,可以參考:如何學會EXCEL VBA錄製與修改巨集系列之一[連結]
2.解決三個邏輯問題,就是如果1.沒有資料 2.只有一筆 3.有一筆以上
就需要用多重邏輯判斷
VBA裡有兩種陳述式:If 與ElseIf,另一種是Select Case
我比較建議用前者,因為可以比較容易學習,和IF也很接近,無需多學一種。
結果畫面:
上課內容:
程式碼:
教學影音完整版在論壇:
https://groups.google.com/forum/#!forum/scu_excel_vba2_86
課程特色:
1.如何將函數轉成VBA2.VBA與資料庫快速結合
EXCEL函數、 VBA程式設計與資料庫是分別屬於三個領域的知識,
但卻是目前大家都需要的一項專業技能,要把三者融合的很好實在非常不容易,
剛好我有近20年的VB程式設計與資料庫設計的經驗,
教EXCEL函數與相關課程也有多年,因此清楚如何把最重要的知識教給大家,
ADO資料庫設計的知識非常多,但根據我多年的設計實務經驗,
覺得最重要的是掌握SQL語言,就可以輕易的完成查詢、新增、修改與刪除等功能,
就可以輕易的完成自己想處理的大量資料,大大提高工作效率了!
上課用書是:
Excel函數&VBA其實很簡單(http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010457292)
Excel VBA 與資料庫整合大活用(http://www.books.com.tw/exep/prod/booksfile.php?item=0010463634)
完整教學影音DVD申請:http://goo.gl/ZlBZE
論壇:http://groups.google.com/group/labor_excel_vba?hl=zh-TW
相關教學連結:
如何設計VBA表單與EXCEL當資料庫用(85期)
提高效率VBA入門班第1次上課心得分享
EXCEL VBA處理股票分析自動最佳化範例
如何在EXCEL VBA中快速刪除空白列
定存範例轉VBA與只能輸入數字的InputBox
如何學會EXCEL VBA資料庫系列之一
EXCEL VBA入門:如何撰寫自動格式化的VBA程式
EXCEL VBA入門之一:如何函數轉VBA
VB.NET設計(九九乘法表&小狗動畫&撲克牌&字幕)
回覆Excel VBA入門與進階課的差異?
如何批次下載股市資料到EXCEL中之2
如何用VBA快速取得期貨交易資料(開收高低量)
如何在EXCEL VBA隱藏與顯示工作表
如何移動工作表與排序之1
如何批次下載股市資料到EXCEL中之1
如何批次下載股市資料到EXCEL中
如何建立表單與將EXCEL當成資料庫
如何讓用ACCESS將EXCEL的資料
如何排序工作表
如何將單次查詢改為批次查詢(EXCEL VBA自動化)
如何在EXCEL VBA的工作表隨機上顏色
如何快速在EXCEL中建立查詢系統(免資料庫)之2
如何精簡VBA程式與傳遞引數
如何快速在EXCEL中建立查詢系統(免資料庫)之1
如何將大量工作表整合在一個工作表
如何在EXCEL VBA新增沒有重複名稱工作表
如何自動下載YAHOO股市資料到EXCEL中
如何建立表單與將EXCEL當成資料庫使用
如何在EXCE VBA中複製工作表
如何在EXCEL VBA如何保護工作表
如何在EXCEL VBA新增沒有重複名稱工作表
如何在EXCEL工作表中移動
EXCEL VBA辦公自動化_如何建立查詢系統
如何當下拉清單改變時自動抓取資料之一
如何將數學函數轉EXCEL VBA設計之二
如何增加EXCEL VBA按鈕
如何設定EXCEL VBA開發環境設定說明
如何將EXCEL函數轉成VBA
如何再VBA中建立EXCEL的自訂函數讓公式變簡單
1.EXCEL VBA設計(自強基金會2012)第4次上課
http://terry55wu.blogspot.tw/2012/03/excel-vba20124.html
2.如何把EXCEL"函數"變為 "VBA"?自強基金會2012第5次上課
http://terry55wu.blogspot.tw/2012/04/excel-vba.html
3.自強基金會2012第8次上課
http://terry55wu.blogspot.tw/2012/05/excel-vba20128.html
4.自強基金會2012第9次上課
http://terry55wu.blogspot.tw/2012/05/excel-vba20129.html
5.EXCEL_VBA與資料庫--自強基金會2012(Ending)
http://terry55wu.blogspot.tw/2012/07/excelvba-2012ending.html
EXCEL,VBA,函數東吳進修推廣部,EXCEL VBA 函數 程式設計 線上教學 excel vba 教學 excel vba指令教學 vba範例教學excel excel vba教學視頻 excel函數教學 excel函數
數學很簡單教學講義 在 數學很簡單- Posts | Facebook 的推薦與評價
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數學很簡單教學講義 在 [求助] 高中數學家教教材- 看板tutor - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
我有尋了版上很多文了
大家都很推 階段式 這本書
我的學生是高一生 段考考不好來找我協助
我看了她的成績和考卷 覺得是位用功的學生
但就是考得不太好 也沒很糟
前幾次可以六七十分 接著愈來愈難 要記方法和解題技巧的愈來愈多
成績就開始穩定下降
我接下來會從第三次段考要考的開始教
準備教材不知要怎準備 買一本參考書 又會覺得只寫第三次段考很浪費
寒假要把前面補齊有點趕(因為學校有寒輔也會教新的)
自己寫重點是不錯 但沒題目跟著練習
如果最後決定買參考書 我有2種選擇 一個是階段式 一個是對話式
對話式比較有難度但一開始是總整理比較好統整觀念
(學生的學校平常課業還蠻重的 怕太難反而太花時間在難題上
最後沒讀完或錯很多 失去信心逃避每天算數學)
階段式是較簡單 缺點就是題目為主 沒有甚麼觀念整合 寫完後面就忘前面
(我高中第二冊用的是對話式 三四冊是階段式 總複習用魔力 )
寫這些對當初的我來說都很有幫助 但最有幫助的其實是補習班
補習班的講義真的好到沒話說 可是用這教學生感覺怪怪的
現在工作的家教班跟我高中補的是不同的 更不可能拿出來教學了
其實如果要我自己編講義 我也只是把補習班整理的重點重抄一次而已
可惜的是題目我都有寫過了 不然題目也都排的很漂亮
板上大大們 有甚麼建議的嗎? 如果選參考書給資質不怎麼好但很用功的學生推薦哪一本?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.52.134.192
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1416845162.A.89A.html
話 難題也都在裡面了 但就是寫的時間問題 學校功課考試很多 都會有第九節
※ 編輯: james329 (27.52.134.192), 11/25/2014 00:13:05
種 買課本跟著送的
※ 編輯: james329 (27.52.134.192), 11/25/2014 00:21:29
※ 編輯: james329 (27.52.134.192), 11/25/2014 00:26:04
... <看更多>