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【搬運計畫：積分後篇｜重點五：旋轉體積分｜觀念講解｜張旭微積分】
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本影片介紹了一個曲線下面積繞著 x 軸或 y 軸旋轉所掃出的體積如何計算，基本上有兩種方法，一個是圓盤法，另外一個是剝殼法
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譚新強：大流行40%至70%感染率預測 是從HIT計算出來的
本來今周值得討論的事情極多，包括沙特阿拉伯與俄羅斯油價戰、美國10年債息首次歷史性跌穿1厘、美國道指跌至11年來首次熊市，和美國大選的選情幻變。但最值得關注的仍然是COVID-19疫情的急速蔓延，世衛終於正式宣布這次為一場Global Pandemic（全球大流行病）！
大流行沒有一個非常正式的定義，理論上最重要因素為某傳染病的廣泛性和宗數，但就跟某病症的嚴重性和死亡率沒甚關係。世衛有頗大的主動決定權，雖不少世界各地的醫學專家已呼籲了好幾周，但明顯世衛一直拖泥帶水，不太願意作出正式宣布。直至近日全球COVID-19確診宗數急升超過12萬，波及超過100個國家，尤其意大利疫情實在已到失控地步，醫療系統崩潰，歐洲其他國家個案亦以幾何級數上升，美國確診個案也升至1000宗以上，世衛才無可奈何地作此大流行宣布。
世衛拖延宣布 或有兩大原因
我相信世衛拖延有兩個主要原因。第一肯定出自對全球經濟考慮，根據IMF估計，大流行的標籤可導致全球GDP增長降低1%，亦即全球衰退的機會大大上升（一般定義為低於3%）。例如很多企業和機構，或將借此提出"Force Majeure"（不可抗力條款），提前取消大量商業合約。
拖延的第二個原因是宣布大流行，亦即等如承認人類跟COVID-19的這場戰爭已「失敗」，將無法消滅此病毒。世衛總幹事譚德塞提到多國的"alarming inactions"（驚人的不行動），有些缺乏資源，有些則缺乏決心！沒點名，但請各位對號入座吧！
當一個疫症到了大流行階段，理論上全球處理方法應有所改變，從containment（圍堵）轉向所謂mitigation（紓緩）。意思是可能各種國際旅遊限制（international travel bans）已對控制疫情無效，但就對經濟有極大傷害，所以應考慮逐步解封。更重要和更有效的應對手段變為"social distancing"（社交隔離）和提升個人衛生。
但理論歸理論，這做法或者合理和具科學理據，但現實歸現實，政治上，在大流行宣布後，誰敢不加強邊境控制，反而大膽放鬆旅遊限制？美國總統特朗普在周三晚就馬上宣布針對英國以外歐洲的30日旅遊禁令！但他亦有提到隨着中國和韓國的疫情改善，將考慮放鬆旅遊限制，但尚未宣布細節。中國疫情終於算得上受控，但近日又見一些從外國輸入個案，辛苦得來的成果，怎會輕易冒險放鬆旅遊限制！
大流行的另一意思是全球人類的一個頗高比例將受到感染。在2009年的H1N1流感，受感染比例約11%至21%，1918年的西班牙流感（亦是H1N1豬流感），受感染比例更可能高達27%。2009年那次的全球總死亡人數約15萬至60萬；1918年那一次，正值第一次世界大戰，當年醫療比現代當然差很多，所以雖只是流感，但死亡率估計高達10%，總死亡人數可能高達5000萬！特朗普自稱不認識任何死於流感的人，可能忘記了他的祖父，正是死於1918年的大流感！
周三，德國總理默克爾向國民說，COVID-19或將感染到60%至70%的德國人，大家必須阻慢疫情，爭取時間為此作好免疫和醫療系統準備。她本身是一位量子化學博士，懂和相信科學，所以有勇氣成為第一個主要國家元首說出這句話！她說這個驚人預測已成為頂尖專家的共識，即包括我多次提過的世衛顧問Ira Longini、哈佛教授Marc Lipsitch和Imperial College教授Neil Ferguson等。
他們預測，全球40%至70%人口將在今年內受到感染。如這個非常驚人的預期成真，即是最高感染人數高達55億，如按現在確診死亡率（CFR）約3.7%來計算，死亡人數可超過2億人！如果感染人數那麼多，一切mitigation手段都必徒然，肯定全球醫療系統將快速崩潰，死亡率必飈升，輕易高至10%以上（意大利已經是7%），即總死亡人數更可超過5億！即使CFR跌至懷疑較低的感染死亡率（IFR），譬如約1%，總死亡人數也已將是非常嚴重的3000萬至5000萬！
倘2億人感染死亡成真 醫療系統崩潰
我明白這些專家的出發點應該是「好意」的，警告全球政府作出最積極準備。但如此驚人的預測，其實他們也必定有責任舉出證據，解釋他們的假設，和這是否他們的唯一結論，或只是一個worst case scenario（最壞情境），概率又多少呢？
失望地，他們似乎完全沒有對公眾交代過任何證據，令到全球人民和各國政府更加迷惘和惶恐。如果他們的講法是對的，一切的旅遊限制，甚至社交隔離措施，到最後都是沒有用的。那麼即使不是坐着等被感染，不如索性繼續外出旅遊，跟朋友聚會，再過正常生活（多渴望）？
既然所謂專家不解釋，唯有靠自己做些研究，在這裏跟大家分享，但我確不是專家，所以不可擔保分析的準確性，請見諒。
上周我已解釋過R0和R的概念，R0是病毒本身的基本傳染度，R是在採取各種隔離措施後的較低傳染度。我現在將介紹傳染病學上的另一概念——Herd Immunity（群體免疫），當一個population（群組）內的某一比例的人得到免疫力，身體產生了抗體，可以是經過感染，也可以是經過vaccination（注射疫苗），剩下來的人口，即使沒有個人免疫力，亦會享受到間接免疫的保護。基本上，這就是我上周提過的pox party（疫症派對）概念。道理很簡單，就是當很大比例的人已有免疫力，病毒就不能再經他們傳給更多其他人，所以疫情就將熄滅。這就是上周刊出感染曲線有自然頂峰的原因。
這個關鍵的人口比例稱為Herd Immunity Threshold（HIT，群體免疫臨界點），原來是可以用很簡單的方程式計算出來的：
HIT＝1－1/R0
HIT就是這個需要受感染而達到群體免疫效果的人口比例臨界點。R0當然就是我們的老朋友：Basic Reproduction Number，病毒基本傳染度，即平均每個病人將傳染給多少個其他人。流感（influenza）的R0約為1.3至1.8，COVID-19是全新病毒，數據尚未很準確，估計R0約為1.4至3.9。
以流感為例，如用R0＝1.3：
HIT＝1－1/1.3＝23%
以COVID-19為例，如用R0＝3：
HIT＝1－1/3＝66%
雖然專家沒有解釋，明顯他們的COVID-19的HIT為40%至70%。全球感染率預測，是來自這個基本方程式的，但可能加上其他的一些假設。流感的計算結果，也符合HIN1和西班牙大流感的經驗。
但我仍有多個重要的疑問。首先這基本方程式用的是R0而並非R，那麼隔離措施，到底是有效還是無效呢？如果有效，如有能力把原來R0＝3降至較低的R＝1.3，那麼COVID-19的HIT也可降至如流感的23%，已可最少挽救數千萬條人命！還是如我上周的附圖顯示，即使能用隔離措施把感染曲線壓扁，但其實兩條曲線的"area under the curve"（曲線下面積）仍然差不多，較低的R只能把整個過程拖長，和減低頂峰發病期對醫療系統的壓力？理論上，如隔離措施百分百有效，密不透風，當然可把原來的一個群組分割為多個隔絕的群組，壓低R必定有效，這就是中國針對湖北的手段，亦見成效。但這種極端的封關措施在多少地方可以執行？意大利正在嘗試，但恐怕為時已晚。况且即使湖北也不是完全密封，也有很多案例流出，亦不可能永遠封關下去，當重開時，從外再傳入的機會也極高。
我的第二個疑問是這個高達70%感染率預測，需時多久，有沒有把夏天的可能消滅病毒效果，計算在內？假設R0為較低的1.6，另假設serial interval（平均每代傳染需時）為專家估計的4.6天，約今年6至7月初夏，或已將達到40%的HIT。
我見過不少專家如美國NIH的Anthony Fauci醫生，當被問到天氣回暖會否加速消滅COVID-19的病毒時，他的答案是按過去流感病毒的經驗，較高溫度和濕度，似乎對遏抑病毒傳播有幫助，但因為此病毒是全新的，所以不能肯定。
無藥根治 夏天回暖成唯一希望
此答案聽似合理，但其實並不科學化。如果不知道，為何不馬上做實驗，在實驗室內模擬夏天環境，包括溫度、濕度，甚至陽光時間和角度等，培植病毒，或在試管內，或把病毒打進動物身上，然後放進一個群組內，不就加速解答這個超重要的疑問嗎？因為請記住，到現時為止，我們沒有任何免疫針和已經驗證有效的藥物，所以如萬一containment真的控制不了疫情，那麼夏天的消減病毒功能，可說是我們的唯一希望！
按照我的研究，曾有人做過針對SARS的夏天模擬實驗，亦證明較高溫度和濕度，確對壓抑SARS病毒有效。但暫時仍未發現類似針對COVID-19的研究，或者最少尚未完成和對公眾宣布結果。疫情非常嚴重，時間非常寶貴，實在刻不容緩，我確對醫學界有點失望。
除此，近日很多專家都告訴我們，在12至18個月內，將可成功研發出有效疫苗，如屬實，當然是天大喜訊。當然遠水不能救近火，即使如期成功，對今年疫情亦沒有幫助；但大家都應該有準備COVID-19將成為endemic，可能每年會捲土重來的風土病（但將不停出現基因變異），所以如明年已有疫苗，進度已算神速！但這些專家也沒有告訴我們為何有此信心。從前我已指出過，感染人類的7種冠狀病毒，包括SARS，到現時為止仍沒有任何疫苗，亦沒有特別的抗病毒藥！當年SARS也是頭等大事，應不乏人和資源去研究疫苗和藥物，但到現在仍未成功。是否因為SARS在2004年後沒有再出現案例，所以沒有人再研究下去，有可能但不肯定。為何其他冠狀病毒，包括導致傷風的兩種，亦沒有疫苗，但流感就有？是否冠狀病毒有些特別結構和特徵，令到發展疫苗和藥物特別困難？如果是的話，為何又有信心在一至一年半內，即可研發出COVID-19的疫苗？此病毒較簡單？現在有迫切性、資源充分、研發技術突飛猛進，加快過程（希望是）？還是專家也沒有把握，在總統和公眾壓力下，信口開河，忽悠大家（希望不是）？我渴望他們用科學解釋一下希望的來源。
除此，我當然也失望仍未看到以隨機測試統計學來計算出來的感染率和IFR。最接近的應該是韓國的數據，他們不斷進行大量接近隨機測試，應該超過20萬人次，確診人數近8000，死亡人數67，CFR約0.8%，接近全球最低。既可能韓國醫療系統比意大利好，中間年齡較低，但明顯亦跟大量測試，擴大CFR分母有關。所以最少這給我們一點希望，神秘的IFR，理論上應可以低於0.8%，如韓國的真正宗數比確診多一倍，那麼IFR就只有0.4%。雖仍遠高於流感的0.03%至0.1%，但總比現在CFR的3.7%好得多。
我們極需要準確一點的IFR估計，因為即使不幸中招，也可安心一點。
中環資產投資行政總裁
[譚新強 中環新譚]
數十年前，未發明水痘（chicken pox）和麻疹（measles）等疫苗前，美英等地的父母曾流行舉行「pox party」（疫症派對），目的是盡早讓小孩感染這些疫症，認為既然遲早會染上，不如愈早愈好，愈安全。這做法有點極端，但也有些少邏輯，因為如到了成年才被感染，危險性的確高很多。但後來發明了疫苗，醫生當然建議打免疫針，不應再開疫症派對，因為如感染了水痘，可導致可致命的腦膜炎！不幸仍有一些不相信疫苗的邪教信奉者，仍會拒絕免疫針，亦因此讓有些本可完全消滅的疾病如小兒麻痺，得以死灰復燃。
COVID-19是個新的傳染病，距離成功研發有效疫苗仍最少一年，即使明年有，估計有效率也不會100%，即使已發明多年的流感疫苗，有效率也只約66%，且每年需要按病毒變異而調校。加上藥物成本和物流難題，明年能接受到免疫針的人數必極少，應不到全球人口的1%至2%。藥物研發好一點，希望Remdesivir和其他藥物試驗成功，能在數月內癀泛使用。
如何處理COVID-19疫情，已成為目前全球每個國家面對的最迫切問題，關乎到公共健康、經濟，甚至乎政治。
過去數周，已討論不少有關死亡率問題，解釋確診（CFR）和感染死亡率（IFR）的區別。現在讓我再討論一下傳染度。近日相信大家都見過R0（Basic Reproduction Number）這名詞，大概定義為疫症的基本傳染度，一個已被感染的病人，在毫無隔離措施情况下，平均將傳染給多少個人。如R0>1，理論上這個病將繼續擴散，直至一個自然峰頂，然後逐漸回落（圖中第1點）。
除R0外，還有另一個概念，R（Effective Reproduction Number），這就是在各種醫療、公共衛生、隔離、旅遊限制和其他緊急措施干預下的實際傳染度，理論上R
面對全新疫症，極多未解疑惑，只感覺R0頗高，CFR也在攀升，懷疑IFR頗低，但沒甚證據。如墮進十里霧，但每個國家仍必須決定各種緊急政策，盡力把感染曲線壓扁，即減低R。
西方政府傳媒不斷攻擊抹黑中國
但因每個國家的疫症情况、公共衛生、醫療水準、政府能力、政治和經濟狀况，以至氣候、地理和文化都有很大差異，所以實質政策也有很大分別。最理想當然是全球國家一齊執行高度協調政策，公開分享醫學數據和經驗，共同研發疫苗和藥物，並分享成本。但事實是美國為首的西方政府和傳媒，不斷攻擊和抹黑中國，把COVID-19形容為一個或比SARS更嚴重的疫症，施壓迫使中國採取全世界前所未有的緊急措施，幾乎全面犧牲短期經濟。但亦出現很難收科的回力鏢效應，引發出連美國人都包括在內的全球疫情恐慌。
先分析一下企圖壓扁感染曲線的原因、效果和代價。找方法企圖控制疫情，是一個正常的本能反應，在某些事件如SARS，亦證明有效。但這只是一個幸運例子，更多疫症如MERS、伊波拉，至今仍未杜絕，有些如HIV，甚至已成為pandemic（大流行病），有些如流感，更可同時成為pandemic和endemic（風土病），醫學定義上有些衝突，但事實確如此。不幸COVID-19似乎正走往這方向。
壓扁曲線的另一原因是盡量減低疫情高峰期時，大量重症數量對醫療系統的巨大壓力。如隔離和旅遊限制等措施奏效，亦為其他暫未受波及的地區爭取寶貴時間來作準備，包括搶建隔離病院，增購防護衣物和ECMO心肺機等。
另外亦希望拖到夏天來臨，疫情自動減退，但沒有絕對把握。理論上如有較好準備，將可減低CFR。當然若要把曲線壓得愈扁，社會亦必需付出愈高的經濟代價。
但這策略也有副作用。以中國武漢、韓國大邱和日本鑽石公主號郵輪為例，他們採取了孤立加隔離政策，雖有效拖慢疫情擴散，但就對這些被孤立地區非常不公平，結果導致超高感染率，公主號高近20%，相信武漢感染率也有3%至10%，大邱也或已接近3%。再者，因為不斷交叉感染，每人吸收的viral load（病毒量）也可能大增，導致病情更嚴重。武漢情况更慘烈，因集中大量重症（約佔確診20%），緊急醫療設施嚴重不足（雖已搶建火神山和雷神山醫院），不幸導致很多人失救。武漢人民和醫護確為國家以至全球作出巨大犧牲，值得我們致敬！
反過來，如某些國家決定不採取積極政策，又是否一定大錯特錯？首先不少傳染病專家，包括Imperial College的Neil Ferguson、哈佛的Marc Lipsitch、美國NIH的Anthony Fauci和世衛的Ira Longini等，都認為隔離和旅遊限制，對減低最終全球總感染人數效果不大。從附圖看，即是說它們的"area under the curve"（曲線下面積），分別未必很大，較扁的曲線，只不過把疫情的時間拖長。這些權威學者的另一預期是今年內COVID-19或將感染全球40%至70%人口，如屬實，恐怕無論多努力都是徒勞無功，最後重症人數仍必將壓毀所有醫療系統。當然希望這最差情况不會出現。
其實不太積極壓扁感染曲線，也可能有些好處。首先當然是付出的經濟代價較低。如果此病的最終CFR，真的會從現在較高的3.4%，降至近估計IFR的約0.3%至1%，那麼實在不值得每個國家過度緊張，不顧一切地全面犧牲經濟。當然如CFR長期高企在3.4%或更高，則另作別論。
除此，如不用全力去壓制疫情，當然會加速蔓延，但病毒會否亦將因此而加速變異，不肯定，但不少傳染病醫生相信，經多代傳染的病毒變異，一般會走向減低毒性。另外，如病毒加速蔓延，會否多了人接觸到較低病毒量，因而身體產生antibody（抗體），提升免疫力？上述專家估計，即使出現大流行病（可能已經是），一半以上被感染的人將毫無徵狀。
總結來說，積極政策的好處是死亡率可能較低，但必須付出沉重經濟代價。政治上可能亦較易向人民交代。較輕鬆抗疫政策，付出經濟代價較低，但死亡率理應較高（但也不一定）。政治上這做法賭博性很高，可以成功，但也可一敗塗地。
中國現反擔心再從外國輸入病毒
中美兩國的對策就是絕佳的對比。中國的對策非常明顯，以舉國之力抗疫，基本處理方針與對付SARS大致相同，目的是全面消滅COVID-19，似乎暫時仍未願意討論此症將成為風土病可能性，和如何與此病毒並存的最佳方法。付出的經濟代價已非常高，更棘手的問題將是如何逐漸消除人民對此病的恐懼。內地雖已逐漸復工，但如何與海外回復正常交通往來，將是更大難題。現在問題已不止是外國不願跟中國重啟航班，中國亦擔心再從意大利、韓國、日本，甚至法、德和美國輸入病毒！長遠一點，當然更多的跨國企業，需要加快分散現時過度集中在中國的供應鏈，沿用了40多年的低庫存，高效率"just in time"供應模式，亦必須改變，但對企業盈利必有影響。
相反，特朗普繼續沿用"ignorance is bliss"（愚昧是幸福）的掩耳盜鈴手段。口中不停說已採取了歷史上最積極政策，但事實上近乎什麼都沒做過。神奇地，連最基本的病毒測試都做得極少，更遑論其他犧牲經濟政策。直到數天前，美國只有3個州有測試儀器，在疾控中心（CDC）的網站上，3天前顯示的測試人數僅472！後來因太多人指罵，CDC索性刪除了這數據！前天更離譜，CDC宣布將不再每日宣布確診個案數目，只會一周更新兩次，做法連伊朗都不如，令全國人民震驚！近日連美國也出現口罩和廁紙搶購潮，不少企業及個人更取消旅行計劃。
因此，特朗普的公信力，甚至連任機會都受到重大影響。上周一美股大跌後，他已呼籲投資者入市撈底，但時機甚差，投資者不理他，繼續恐慌拋售，一周內完成有史以來最急速調整。
疫情助拜登初選反先 道指再急升
周一本來股市已開始反彈，但特朗普不斷攻擊聯儲局政策落後於歐、日，結果成功迫使軟弱的鮑威爾緊急減息50點子，美10年債息更歷史性首次跌穿1厘！但美股仍缺乏信心，結果周二再次大跌。到了周三，民主黨的「超級星期二」初選結果顯示拜登重新發力，代表人數目反超前桑德斯，因此道指再度急升過千點。超過四成投票者表示COVID-19疫情是投票決定的一個主要元素，意思即是對特朗普處理疫情的能力缺乏信心。欺負他國，侮辱政敵時，亂吹亂擂，為支持者出出氣，無所謂，但面對生死攸關的疫情，不少美國人寧願相信較有危機處理經驗、較願意聽取專家意見的拜登。民主黨人對他的信心，亦高於過度理想化、滿腦充滿極左經濟理論，但實際行政經驗不足的桑德斯。
美國確診個案已升至144宗，11人死亡。美股有可能再跌，因為本來已不廉宜，去年盈利已沒增長，如今年再沒有，或甚至下跌，那麼即使利率下降，但P/E能否繼續無止境膨脹，是個疑問。但反對特朗普的人絕不可過度興奮，最要小心的是不要墮入美國疫情必將出現如意大利和韓國般的大爆發，美國經濟也因此必然崩潰的空想陷阱。原因有三：
特朗普自己不斷說，也迫Fauci和其他專家說疫情已受控，疫苗和藥物將馬上成功研發出來。Fauci身不由己，被迫尷尬地贊同進展已很快，但就提醒疫苗仍需時一年以上研製。除此，他們也企圖說服國人此病的死亡率只有類似流感的0.2%至0.3%，即使美國人數學較差，大部分人不懂計算出COVID-19現時在美國的CFR已冠絕全球，恐怖地高達7.6%，比武漢還要高！但言猶在耳，不少人應還記得之前美國不停指控中國隱瞞一個或比SARS更致命的恐怖疫症，怎可能到了美國即變成毫無殺傷力的「普通流感」？
雖然副總統彭斯不斷說已把15,000套測試儀器送到全國各地，但暫仍未看到如韓國般的大規模測試。彭斯亦不肯擔保測試將是免費，早前見有報道指測試價高達4000美元，遠超過一般美國人的負擔能力，所以測試人數可能仍很少。
特朗普「疫症派對」豪賭
最要小心的是「美國疫情才剛開始爆發」的假設，極可能是錯的。很多人已懷疑今季3200萬個流感個案，可能其實不少是COVID-19，亦有基因跡象顯示此病毒源頭或非中國，甚至可能來自美國。所以不應假設美國疫情仍處於感染曲線的最左手邊起步階段，個案必大幅增加。有可能美國情况跟中國和韓國差不多，或者已近高峰期，甚至已到了疫情降溫的曲線右手邊。如屬實，即使現時增加測試，亦可能不會發現大量新增個案。另外，美國現在測試的是核酸，而非中國已改的更佳抗體測試，可測出人體曾否受過感染。美國的做法完全無法查證過去有否混淆流感跟COVID-19的疫情，所以亦不知道疫情已到什麼階段。是巧合還是精心設計？
特朗普是個運氣非常好的人，今次再以「疫症派對」豪賭一次。最後輸贏，拭目以待。
中環資產投資行政總裁
[譚新強 中環新譚]
【摘要】
本影片介紹了一個曲線下面積繞著 x 軸或 y 軸旋轉所掃出的體積如何計算，基本上有兩種方法，一個是圓盤法，另外一個是剝殼法
【勘誤】
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重點一：進階積分技巧：高次倍角三角函數積分 (https://youtu.be/Gbj51Z9asMo)
重點二：特殊積分形式之其一：含絕對值的積分 (https://youtu.be/ntuZMDxA2oE)
重點三：特殊積分形式之其二：含無窮的積分 (https://youtu.be/VaCL5moZojc)
重點四：微積分基本定理 II：先積再微型 (https://youtu.be/Zc5rO2JIXxA)
重點五：旋轉體積分 👈 目前在這裡
├ 精選範例 5-1 (https://youtu.be/orHhYf1kIpY)
├ 精選範例 5-2 (https://youtu.be/8CbMgl7kJiM)
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