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【搬運計畫：重點六：去零因子求極限｜補充教材｜張旭微積分】
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最近決定開始把 YouTube 頻道上教學影片都搬到臉書來
以後大概會每天搬一部
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本影片主要介紹萊布尼茲微分符號 d/dx
這個符號的優勢在於可以明確指示對哪個變數微分
而且 dy/dx 更有切線斜率的感覺
然後介紹高階微分與隱函數微分法
讓微分這個動作更能自由自在地處理問題
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微分篇｜重點六：萊布尼茲微分符號與隱函數微分法｜觀念講解
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各位晚安
剛剛忙完上一批報名酷炫老師線上直播課的名單
在我正在編輯準備發佈的微積分影片時
又多了一批報名酷炫老師線上直播課的學生
不知道等這篇發完
新的一批到底會累積多少學生報名
言歸正傳
這次跟大家分享萊布尼茲微分符號和隱函數微分法
萊布尼茲微分符號是教科書上面也會看到的一種微分符號
相對於在函數右上方加一撇而言
這個符號更能標明是對哪個變數微分
並且 dy/dx 的寫法更能展現切線斜率的感覺
所以是一個相當好用的符號
唯一要付出的代價是筆劃較多
而隱函數微分法
這個章節有些書會放比較後面
但既然都有教萊布尼茲微分符號了
用隱函數微分法來證明符號的好用性也是不錯
對了，可能有部分同學會注意到為啥沒有主題五的影片
原因是因為主題五是微分表
而微分表只是把之前的公式做一個統整
所以在講義裡只是一個表格
且我已經把它全部都填滿了
所以就沒有再另外拍一部影片來處理了
大概是這樣
本主題學習地圖：
主題六：萊布尼茲微分符號與隱函數微分法 (https://youtu.be/vP77TX3gzSg)
├ 精選範例 6-1 (https://youtu.be/-G_G6-mUpLM)
└ 精選範例 6-2 (https://youtu.be/kvV_ScGB7JI)
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【摘要】
本影片主要介紹萊布尼茲微分符號 d/dx，這個符號的優勢在於可以明確指示對哪個變數微分，而且 dy/dx 更有切線斜率的感覺；然後介紹高階微分與隱函數微分法，讓微分這個動作更能自由自在地處理問題
【勘誤】
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【附註】
本影片適合理、工、商、管學院學生觀看
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【學習地圖】
【極限篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN)
【連續篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgntIXH9Jrpgo5O6y_--58L)
【微分篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiPgR9GLKtro3CTr6OIgdMg)
重點一：導數與微分的概念 (https://youtu.be/G9feQfwpdKU)
重點二：微分運算律 (https://youtu.be/SuAJkre9lh8)
重點三：微分合成律 (連鎖律) (https://youtu.be/tKrx2zqdSug)
重點四：反三角函數的導函數 (https://youtu.be/ffbAGtInqZg)
重點五：微分表 (僅講義，無影片)
重點六：萊布尼茲微分符號與隱函數微分法 👈 目前在這裡
├ 精選範例 6-1 (https://youtu.be/-G_G6-mUpLM)
└ 精選範例 6-2 (https://youtu.be/kvV_ScGB7JI)
重點七：微分工具整合
├ 精選範例 7-1 (https://youtu.be/g4IQMtV4lYA)
├ 精選範例 7-2 (https://youtu.be/ywzWD1I8gd4)
├ 精選範例 7-3 (https://youtu.be/iodMYj5hgTA)
├ 精選範例 7-4 (https://youtu.be/8FSrlga-cKE)
└ 精選範例 7-5 (https://youtu.be/znjo3uZ-roQ)
重點八：切線專論 (https://youtu.be/UrNweUmyd_M)
【微分應用篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjNzXUa9hI2IfknA8Q7iSwE)
【積分前篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXikxrvbQAnPa_l3nFh5m9XK)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
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本影片版權為張旭 (張舜為) 老師所有
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微分題目大致都會做了....但還是不太懂，d/dx所代表的意義，各位能簡單的解釋給小弟聽嗎QQ，我目前理解就是d代表微分，y = x^2+2x+1，y prime= 2x+2， ... ... <看更多>
dy dx介紹 在 Re: [微積] 有什麼微積分的資源麼? - 看板Math 的推薦與評價
※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: 最近念到line integral，覺得有些地方難以理解，
: 不是抽象的問題，而是符號的嚴謹性，有些地方一想深入，就苦惱書上都沒寫。
: 有推薦的資源嗎？書籍、網站，或者什麼pdf之類的，感恩。
: (推薦初微就好，不用高微)
在微積分中:
基本上dx,dy,ds都可以形式上把他當變數來處理。
ds^2=dx^2+dy^2+dz^2
真正的意義是
(ds/dt)^2=(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2
而dy=f'(x)dx只是dy/dx=f'(x)的方便符號。
如果你不嫌麻煩，你可以每次都把dy=f'(x)dx寫成dy/dx=f'(x)。
你那些符號移來移去其實就是一個變數變換的過程而已(或微分連鎖律)。
線積分
∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy (**)
的實際意義是:
假設(x(t),y(t))是你的曲線的參數式，則(**)定義為
∫[P(x(t),y(t))dx/dt+Q(x(t),y(t))dy/dt]dt
所以你事實上可以不厭其煩的把每個變數步驟都寫出來的。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 132.64.25.47
dx的正確幾何意義是R上的餘切叢的截面(section of the cotangent bundle)
用一維的看不出來，我用二維來說明。
假設p=(p_1,p_2)是R^2上的點，假設v=(v_1,v_2)是R^2上的向量，我們定義
(v)_p=(v_1+p_1,v_2+p_2)
我們定義
(v)_p+(w)_p=(v+w)_p, a(v)_p=(av)_p
則所有型如(v)_p的集合構成一個二維的向量空間，這個向量空間記為T_p R^2
稱為R^2在p點的切空間。
我們定義dx_p[(v)_p]=v_1, dy_p[(v)_p]=v_2。則dx_p, dy_p是T_pR^2上的線性泛涵。
讓p點去改變，我們就得到dx,dy。換句話說:
dx:就定義為p-> dx_p, dy就定義為p-> dy_p。
如果x->h(x)是一個變數變換，我們可以驗證:利用定義
dh=h'(x)dx
這是因為一般的函數，df被定義為方向導數。同時在利用dx是基底，可以把df=adx
進而證明a=f'(x).
這是嚴謹的dx定義。
但基本上在微積分的程度，不需要這樣的看法，因為作積分時，這樣的規則其實就是
變數變換(or chain rule)
"在微積分中，我們並不需要以上的看法"
個人覺得你有點鑽牛角尖了。基本上微積分學會怎麼算比較重要。
其實微積分的書已經很嚴謹了
※ 編輯: herstein 來自: 109.67.29.49 (05/29 04:10)
※ 編輯: herstein 來自: 109.67.29.49 (05/29 04:11)
但在初等微積分中，dy=f'(x)dx只是dy/dx=f'(x)的方便符號。因此，
你在處理這樣的方便符號，其實你是在處理變數變換的過程。因為，
在初微中，我們處理的只有積分，並不是真的處理differential form。
例如:
假設y=f(x)是一個變數變換。我們希望處理積分
∫H(y)dy
我們自己在計算的時候，是把它寫成
H(y)dy=H(f(x))f'(x)dx.
它是一個變數變換的過程(變數變換是來自於微分連鎖律)
在微積分中，我們這麼寫只是為了方便。完整的寫是
∫H(y)dy=∫H(f(x))f'(x)dx
我們希望計算積分
∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy
我們常常直接在P(x,y)dx+Q(x,y)dy上處理。如果使用弧長參數
s(t)=∫√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt,
積分可以改寫為
∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫(F˙n)ds
其中n=(dx/ds,dy/ds), F=(P,Q).
而ds^2=dx^2+dy^2只是以下積分表示的簡寫。
參數s(t)=∫√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt
所以你在處理微積分時，你並不需要真的處理dx,dy，當你在處理這些differential
form時，你這些都可以實際的寫成積分形式。
functional。假如f是定義在R^n上的一個可微分函數，那麼，任給一點p,與切向量v
我們可以定義方向導數
v_p[f]=df_p(v)=d/dt (f(p+tv))|_t=0.
所以df_p就成為T_pR^n上的linear functional。這個linear functional df_p
隨著p點改變。當f=x^i是座標函數時，dx^i_p:T_p R^n-> R剛好就是座標投影。
我們可以驗證{dx^1_p,...,dx^n_p}是(T_pR^n)*的基底。
※ 編輯: herstein 來自: 109.65.4.153 (05/29 16:57)
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