俐媽看到這個圖(IG: freeformeshop)的想法是：
看個錶怎麼會這麼累😂😂😂😂
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感謝模B的宜婷，她是已經退休的科研數學教學，她也針對自己有興趣的主題，投稿了數學餐！
👩🏻🏫 宜婷+俐媽英文教室：
👉數論
1️⃣ 數系：
①ℕ natural number 自然數
②ℤ integer 整數
→ decimal小數(循環 recurring+，無限infinite+)
③ℚ rational number 有理數
→ irrational number 無理數
④ℝ real number 實數
→imaginary number虛數
⑤ℂ complex number 複數
2️⃣ sentence 語句
3️⃣ proposition 命題：有真假可言的直述(indicative)語句
4️⃣ axiom 公理：不證自明的命題
5️⃣ set 集合
6️⃣ assume (vt.) 假設(-sum: take)
→assumption (n. C) 假設
→make assumption about
7️⃣ denote (vt.) 表示
→denotation (n.C) 意義，本意
8️⃣ exist (vi.) 存在(-sist: stand)
→existence (n.U) 存在
9️⃣ satisfy (vt.) 滿足
🔟 commutative laws 交換律【x+y=y+x、x×y=y×x】
1️⃣1️⃣ associative laws 結合律【x+(y+z)=(x+y)+z、x(yz)=(xy)z】
1️⃣2️⃣ distributive law 分配【x(y+z)=xy+ xz】
1️⃣3️⃣ law of trichotomy 三一律
1️⃣4️⃣ axioms of equality 等量公理
1️⃣5️⃣ reciprocal (n.) 倒數；(adj.) 相互的，互惠的
1️⃣6️⃣ factor因數
→ common factor 公因數
1️⃣7️⃣ multiple 倍數
→ common multiple 公倍數
1️⃣8️⃣ Euclidean algorithm 輾轉相除法(歐幾里得算法)
👉集合論
1️⃣ subset 子集(sub-: under)
2️⃣ empty set 空集合
3️⃣ universal set 宇集(uni-: one/ -vers: turn)
4️⃣ intersection 交集(-sect: cut)
5️⃣ union 聯集
6️⃣ difference set 差集
7️⃣ complement set 補集
8️⃣ Venn diagram 文氏圖
9️⃣ power set 冪集合
🔟 element 元素
1️⃣1️⃣ sufficient condition 充分條件
1️⃣2️⃣ necessary condition 必要條件
1️⃣3️⃣ if and only if 若且唯若(充分且必要)(⇔)
👉機率統計
1️⃣ Random Variable隨機變數【variable (n.C) 變數；(adj.) 多變的，反覆無常的】
2️⃣ discrete (adj.) 離散的，單獨的
3️⃣ Probability Distribution 機率分布
4️⃣ expectation 期望值
5️⃣ Linearity of Expectation 期望值的線性
6️⃣ variance 變異數
7️⃣ independent event 獨立事件 (cf. mutually exclusive event 互斥事件)
8️⃣ repeated experiment 重複試驗
9️⃣ Binomial theorem 二項式定理
🔟 Binomial distribution 二項式分布
1️⃣1️⃣ sampling抽樣
→population母體，sample樣本
①簡單隨機抽樣 sample random sampling：每一樣本抽到機率相同
②系統性抽樣 systematic sampling：將母體元素編號後，每隔一定間隔抽取一個樣本
③分層隨機抽樣 stratified random sampling：將母體按某些特性分成數個不重疊的層，再依各層佔母體比例抽取樣本
④叢集抽樣 cluster sampling：將母體中相鄰近的個體排為一集體，而以集體為抽樣單位
1️⃣2️⃣ normal distribution 常態分布(Gaussian distribution 高斯分布)
1️⃣3️⃣ standard score (standardized score) 標準分數(標準化分數)
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謝謝宜婷🙏🏼
附圖2, 3是常見的數學表示法哦！
#俐媽英文教室 #辣媽英文天后林俐carol #俐媽英文教室徵稿中 #mathematics #themewords
樣本變異數怎麼算 在 [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1) - 精華區tutor 的推薦與評價
_ 2
Σ(X-x)
s^2 = ------------
n-1
請問為什麼要用 n-1 阿?
--
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◆ From: 140.112.243.218
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: doa2 (好窮..沒錢..Q_Q) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 18:24:46 2003
※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: _ 2
: Σ(X-x)
: s^2 = ------------
: n-1
: 請問為什麼要用 n-1 阿?
如果資料是抽樣資料
樣本數為n
當n=1時 無法知道其變異的程度
_ _
n=2時 X1-x=-(X2-x)
只能知道一個變異的程度
所以當樣本數為n
_ _
殘差Xi-x, Σ(Xi-x)=0
只有n-1個是自由的,第n個殘差值等於其他殘差值總合的負值
--
我統計不好...@@ 以上都是照本宣科而已
--
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◆ From: 140.112.249.46
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: potoser (有趣的UDD) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 18:22:07 2003
※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: _ 2
: Σ(X-x)
: s^2 = ------------
: n-1
: 請問為什麼要用 n-1 阿?
統計學裡面有說
高中好像不用減1 後來學統計學裡面有提到減一的問題....
...好像是自由度...
--
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◆ From: 140.112.213.163
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: weisor (有一天 如果...) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 18:36:26 2003
※ 引述《potoser (有趣的UDD)》之銘言：
: ※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: : _ 2
: : Σ(X-x)
: : s^2 = ------------
: : n-1
: : 請問為什麼要用 n-1 阿?
: 統計學裡面有說
: 高中好像不用減1 後來學統計學裡面有提到減一的問題....
: ...好像是自由度...
我高中學標準差的時候是不用減一
可是現在改版後 就要減一了(至少南一版是)
完全搞不懂為什麼
要如何說明要用n-1阿
(因為教科書上是寫用n-1可以縮小誤差 為什麼會縮小誤差阿)
--
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◆ From: 140.112.243.218
※ 編輯: weisor 來自: 140.112.243.218 (03/23 18:36)
※ 編輯: weisor 來自: 140.112.243.218 (03/23 18:37)
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: OneofPieces (STILL LOVING YOU ) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 20:49:08 2003
※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: ※ 引述《potoser (有趣的UDD)》之銘言：
: : 統計學裡面有說
: : 高中好像不用減1 後來學統計學裡面有提到減一的問題....
: : ...好像是自由度...
: 我高中學標準差的時候是不用減一
: 可是現在改版後 就要減一了(至少南一版是)
: 完全搞不懂為什麼
: 要如何說明要用n-1阿
: (因為教科書上是寫用n-1可以縮小誤差 為什麼會縮小誤差阿)
簡單來說為何要用n-1
譬如有10個數,由1,2,3...,9,0
你要將他們隨便任意排成一個十個數自的號碼~~~
第一個有10個,第二個有九個,一直到最後一個~~~有只有一個數字可以選,..
那請問是不是只有九個地方的數字可以隨意選,而最後一個一定是剩下的那個數字~
所以所謂的自由度就是這樣而來~~~~
所以為 10 - 1 = 9,
這是統計上說的,....
--
愛需要傻勁，但不能傷害別人，愛需要耐力，但不是一再的騷擾愛人，
愛有許多的能力，能使人快樂，亦能使人痛苦。
時常補給自己愛的知識，讓愛人與被愛都有福。
--
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◆ From: 140.112.243.135
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: coco1003 (小精靈) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 21:25:52 2003
※ 引述《OneofPieces (STILL LOVING YOU )》之銘言：
: ※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: : 我高中學標準差的時候是不用減一
: : 可是現在改版後 就要減一了(至少南一版是)
: : 完全搞不懂為什麼
: : 要如何說明要用n-1阿
: : (因為教科書上是寫用n-1可以縮小誤差 為什麼會縮小誤差阿)
: 簡單來說為何要用n-1
: 譬如有10個數,由1,2,3...,9,0
: 你要將他們隨便任意排成一個十個數自的號碼~~~
: 第一個有10個,第二個有九個,一直到最後一個~~~有只有一個數字可以選,..
: 那請問是不是只有九個地方的數字可以隨意選,而最後一個一定是剩下的那個數字~
: 所以所謂的自由度就是這樣而來~~~~
: 所以為 10 - 1 = 9,
: 這是統計上說的,....
記得在上分析化學的時候
老師有說過
若族群夠大的話...就用n....
若族群太小的話...就用n-1...
至於多少才叫做大咧???
分析化學課本中是說 當n>20時.....才稱的上是大.....所以用n代
<20.......稱做小.................n-1
--
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◆ From: 219.68.10.188
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作者: DEREK (全身無力頭好痛><) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 22:12:22 2003
※ 引述《coco1003 (小精靈)》之銘言：
: ※ 引述《OneofPieces (STILL LOVING YOU )》之銘言：
: : 簡單來說為何要用n-1
: : 譬如有10個數,由1,2,3...,9,0
: : 你要將他們隨便任意排成一個十個數自的號碼~~~
: : 第一個有10個,第二個有九個,一直到最後一個~~~有只有一個數字可以選,..
: : 那請問是不是只有九個地方的數字可以隨意選,而最後一個一定是剩下的那個數字~
: : 所以所謂的自由度就是這樣而來~~~~
: : 所以為 10 - 1 = 9,
: : 這是統計上說的,....
: 記得在上分析化學的時候
: 老師有說過
: 若族群夠大的話...就用n....
: 若族群太小的話...就用n-1...
: 至於多少才叫做大咧???
: 分析化學課本中是說 當n>20時.....才稱的上是大.....所以用n代
: <20.......稱做小.................n-1
我記得我高中數學老師有說過...
當你是抽樣的時候就要用n-1..全效用亂數抽部份人的成績出來的平均
但當你是用母體的話就用n...像是全班的平均
--
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◆ From: 61.223.21.66
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: OLMEC (gogogo) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 22:34:20 2003
※ 引述《OneofPieces (STILL LOVING YOU )》之銘言：
: ※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: : 我高中學標準差的時候是不用減一
: : 可是現在改版後 就要減一了(至少南一版是)
: : 完全搞不懂為什麼
: : 要如何說明要用n-1阿
: : (因為教科書上是寫用n-1可以縮小誤差 為什麼會縮小誤差阿)
: 簡單來說為何要用n-1
: 譬如有10個數,由1,2,3...,9,0
: 你要將他們隨便任意排成一個十個數自的號碼~~~
: 第一個有10個,第二個有九個,一直到最後一個~~~有只有一個數字可以選,..
: 那請問是不是只有九個地方的數字可以隨意選,而最後一個一定是剩下的那個數字~
: 所以所謂的自由度就是這樣而來~~~~
: 所以為 10 - 1 = 9,
: 這是統計上說的,....
恩~~~
自由度大概知道了些
可是還是不清楚為什麼可以縮小誤差耶@@
可以解釋再清楚些嗎
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 219.91.56.27
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: rath (Alien) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Mon Mar 24 01:27:34 2003
※ 引述《OLMEC (gogogo)》之銘言：
: ※ 引述《OneofPieces (STILL LOVING YOU )》之銘言：
: : 簡單來說為何要用n-1
: : 譬如有10個數,由1,2,3...,9,0
: : 你要將他們隨便任意排成一個十個數自的號碼~~~
: : 第一個有10個,第二個有九個,一直到最後一個~~~有只有一個數字可以選,..
: : 那請問是不是只有九個地方的數字可以隨意選,而最後一個一定是剩下的那個數字~
: : 所以所謂的自由度就是這樣而來~~~~
: : 所以為 10 - 1 = 9,
: : 這是統計上說的,....
: 恩~~~
: 自由度大概知道了些
: 可是還是不清楚為什麼可以縮小誤差耶@@
: 可以解釋再清楚些嗎
不偏性..
--
렠 任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 210.85.79.68
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: andrew43 (我最愛狗了！) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Tue Mar 25 22:41:29 2003
※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: _ 2
: Σ(X-x)
: s^2 = ------------
: n-1
: 請問為什麼要用 n-1 阿?
我們老師這樣說
如果是sample，就用n-1
是population就用n
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 210.202.161.44
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: amberliao (小寶貝) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Thu Mar 27 16:54:16 2003
※ 引述《andrew43 (我最愛狗了！)》之銘言：
: ※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: : _ 2
: : Σ(X-x)
: : s^2 = ------------
: : n-1
: : 請問為什麼要用 n-1 阿?
: 我們老師這樣說
: 如果是sample，就用n-1
: 是population就用n
n-1 代表就是自由度...
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 140.117.204.80
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: spicy3 (330越野踐行呀!) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Thu Mar 27 17:06:15 2003
根據統計的簡單觀點，
因為是抽一部分的樣本估計整個母體。
所以以n-1了表示變動幅度會變大。
我想，對於高中生這樣解釋就好了。
不需用數統解釋吧。
※ 引述《amberliao (小寶貝)》之銘言：
: ※ 引述《andrew43 (我最愛狗了！)》之銘言：
: : 我們老師這樣說
: : 如果是sample，就用n-1
: : 是population就用n
: n-1 代表就是自由度...
--
所謂的氛圍呢，我猜他不過是在粉紅色的季節裡輕輕地呢喃。
就像是販賣一整季春天的奶油棒與孩童們的聲音，
噗噗地送入整個痲痺的腦袋裡。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 140.119.73.88
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: weisor (有一天 如果...) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Thu Apr 24 10:01:38 2003
※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: _ 2
: Σ(X-x)
: s^2 = ------------
: n-1
: 請問為什麼要用 n-1 阿?
樣本空間 S, |S| = N
X 為 S 的一個子集合(一組抽樣結果), |X| = n
_
x = ΣX / n
為使 s^2 的 期望值 為 σ^2
σ^2 = Σ(S-μ)^2 / N
μ = ΣS / N
_
∴ s^2 = Σ(X-x)^2 / (n-1)
=> E(s^2) = σ^2
ps 不過我怎麼推 都只是近似而已 沒有相等說
====================================================================
也就是說從 N 個元素中 任意取 n 個樣本 以 s^2 計算所得的 樣本標準差
平均會近似於(等於?) 母體標準差 σ^2
====================================================================
(n-1)E(s^2) = E( E(X^2) - n[E(X)]^2 )
= E[E(X^2)] - nE( [E(X)]^2 )
= nE(S^2) - n( Var(E[X]) + (E[E(X)])^2 )
E(S^2) = Var(S) + E(S)^2 = σ^2 + μ^2
?
Var(E[X]) = Var( ΣX / n ) = Var( ΣX ) / n^2 = Σ Var(X) / n^2 = Var(S) / n^2
= σ^2 / n^2
E[E(X)]^2 = E(S)^2 = μ^2
∴ (n-1)E(S^2) = n(σ^2 + μ^2) - n(σ^2 / n^2 + μ^2) = (n-1)σ^2
∴ E(S^2) = σ^2 故得証 #
=====================================================================
不過我推一推 都只得到 E(S^2) = N*σ^2 /(N-1) -> σ^2
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 140.112.243.218
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: rath (鑽研。) 看板: tutor
標題: [轉錄]Re: 請問標準差公式
時間: Thu Apr 24 11:57:14 2003
※ [本文轉錄自 Math 看板]
作者: plover (㊣騎牆自爆派㊣) 看板: Math
標題: Re: 請問標準差公式
時間: Tue Apr 22 23:59:31 2003
※ 引述《ACUMENEYE (信念)》之銘言：
: 一樣本 X1,X2,X3......Xn,標準差公式：
: i=n _
: 為何是 (1/n-1)Σ ( Xi-X )^2
: i=1
: 而不是 i=n _
: (1/ n )Σ ( Xi-X )^2 呢？
: i=1
: 只記的老師說跟自由度有關...@@@
應該是說無偏性啦。
_
假設現在 S^2 取成 = 1/n Σ(X_i-X)^2 (index 不打了，you know)
然後我們來算 S^2 的期望值：
（很自然的想法，這個期望值應該是 σ^2）
可是算出來，卻發現說 E[S^2] = (n-1)/n σ^2.
那該怎麼取 S^2 才會產生 E[S^2] = σ^2 漂亮的結果呢？
就把 1/n 改成 1/(n-1) 就行了：）
--
∞
3.30 Definition e = Σ 1/n!
n=0
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 140.112.247.33
--
렠 任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 210.85.79.106
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: uouo (小優兒活力普查員) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Thu Apr 24 12:09:52 2003
※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: ※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: : _ 2
: : Σ(X-x)
: : s^2 = ------------
: : n-1
: : 請問為什麼要用 n-1 阿?
: 樣本空間 S, |S| = N
: X 為 S 的一個子集合(一組抽樣結果), |X| = n
: _
: x = ΣX / n
: 為使 s^2 的 期望值 為 σ^2
: σ^2 = Σ(S-μ)^2 / N
: μ = ΣS / N
: _
: ∴ s^2 = Σ(X-x)^2 / (n-1)
: => E(s^2) = σ^2
: ps 不過我怎麼推 都只是近似而已 沒有相等說
: ====================================================================
: 也就是說從 N 個元素中 任意取 n 個樣本 以 s^2 計算所得的 樣本標準差
: 平均會近似於(等於?) 母體標準差 σ^2
: ====================================================================
: (n-1)E(s^2) = E( E(X^2) - n[E(X)]^2 )
: = E[E(X^2)] - nE( [E(X)]^2 )
: = nE(S^2) - n( Var(E[X]) + (E[E(X)])^2 )
: E(S^2) = Var(S) + E(S)^2 = σ^2 + μ^2
: ?
: Var(E[X]) = Var( ΣX / n ) = Var( ΣX ) / n^2 = Σ Var(X) / n^2 = Var(S) / n^2
: = σ^2 / n^2
: E[E(X)]^2 = E(S)^2 = μ^2
: ∴ (n-1)E(S^2) = n(σ^2 + μ^2) - n(σ^2 / n^2 + μ^2) = (n-1)σ^2
: ∴ E(S^2) = σ^2 故得証 #
: =====================================================================
: 不過我推一推 都只得到 E(S^2) = N*σ^2 /(N-1) -> σ^2
以直覺觀念去想 無論是變異數或標準差
皆與自由度有相關性 當我們在算 N 個數之間的變異數
當我們選擇其中之一當作基準時
剩下的 N-1 的數也只有 N-1 個位子去選擇
我只是很簡單的去想罷了
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 210.85.83.234
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