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無知有不同程度可言，這程度可以從你怎麼問問題看出來。「根號二是無理數嗎？」顯示你對根號二的了解比不上理想上的高中生（即使已經勝過我），但你好歹知道根號二是個數，所以有所謂屬於有理數還是無理數的差別。但「根號二能吃嗎？」則顯示你對根號二比我還無知，無知到可能搞混根號二跟香菜的程度。
「X是什麼？能吃嗎？」有趣味，因為它暗示說話者不但不知道X是什麼，甚至不知道X是哪類東西。
https://news.readmoo.com/2021/08/30/kris-210830-edible/
世上有無字的情批，也有無字的數學證明。光靠這張圖就可以證明的事情是：【根號二是無理數】 原解釋影片 by @Mathologer youtu.be/f1yDExNAEMg
以下導讀 😃：
我們想像北韓大閱兵，兩個一樣大的步兵方陣向彼此靠近，交錯穿過（像之前回顧的動畫），然後迅速的重新整隊，變成一個有兩倍軍人的方陣......啊，此情此景多賞心悅目，金正妹大喜。
呃，什麼，數學很好的參謀表示，很抱歉那是不可能做到的！如果小方陣邊長是 N，大方陣邊長是 M，因為士兵守恆
N² + N² = M²
→ 2 N² = M²
→ (M/N) = √2
但 M 和 N 都是正整數。就表示根號二忽然變有理數了，即使在已經頗無理的北韓都做不到那種事。
但怎麼證明？數一數，圖中有兩個淺色邊長為 12 的正方形，彼此在中央重疊 7 格深色正方形，12 - 7 = 5 是角落兩個白色正方形，整個大正方形邊長是 12 + 5 = 17。
注意到 12×12 = 144, 144 + 144 = 288 ≠ 289 = 17×17 只差 1 就可以完成北韓方陣，很好很好，只需要多複製出一個人（誤）。
能否更好，不需要偷加減一個人呢。依照前文，假設能完成 2 N² = M² 的最小正整數 M 與 N 存在，容易檢查
( 2N - M )² = 2 (M - N)² 也成立。
上式可以用代數乘開，或者注意到原圖中的正方形的面積關係。若兩個淺色正方形面積相加等於大正方形，則中央重疊正方形面積，會等於兩個角落的白色小正方形。（我想像它們是蛋糕模子裡的麵糊，抹平推開。）
揪抖嗎跌～發現貓溺。我們剛剛不是才假設 M,N 是最小的能滿足方程式的正整數解嗎。但透過代數 or 幾何推理，忽然又冒出一組「更小的正整數」 2N-M 和 M-N 也是解。
按照一樣的運算可以一再不停「找出」嚴格更小的正整數組.......
但正整數不可能一直減小再減小，最小只有到 1 而已。所以這一連串「無窮遞降」的荒謬劇的罪魁禍首，只有可能是我們一開始假設錯誤！並不存在任何這樣的 M,N。
這招「無窮遞降歸謬法」是由業餘數學家之王，律師先生費馬發揚光大的。→ Proof by infinite decent
值得一提的是，只要加減一個人就能完成北韓方陣。這個數學結論來自經典的 Pell 方程式：y² - 2 x² = ±1，這個 Pell 方程式的解可以輕易的得到越來越好的「√2 的有理近似」
例如
17/12 = 1.41666...
41/29 = 1.41379...
99/70 = 1.41428...
239/169 = 1.41420... （規律：p/q 的下一個是 (p+2q)/(p+q)）
而 √2 = 1.41421...
欸欸欸為什麼？因為丟番圖 Diophantus 和婆羅摩笈多 Brahmagupta 強者威能，歐幾里得也有貢獻。詳盡展開字多略。
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【#採訪筆記：Google不到怎麼辦？費米推論的邏輯思考三招讓你聰明過人！】
身為記者，常常都需要寫報導，印象中每一次寫財經相關新聞或專題，都要上網查好多資料，即便是現在做節目當主持人或寫作，也都是常常需要靠谷歌大神找調查數據，才能讓內容有憑有據。
🧐不過，如果有一天谷歌不可靠呢？
這周廣播節目《創意領航家》專訪 #資策會MIC產業顧問學院 #萬岳憲 總監，他就跟我聊一個例子，有一回看到媒體報導：
「台灣的珍珠奶茶市場年產值是500億元」
這看起來普通的財經報導，其實仔細思考就發現有邏輯問題。
🤔什麼問題？
🥤🥤如果珍珠奶茶年產值是500億元，那以一杯珍珠奶茶約50元計算，等於一年要賣掉1億杯珍珠奶茶！
而若再除以全台灣2300萬人口，相當於每個人每年要喝掉44杯珍珠奶茶 = 一星期要喝約一杯珍珠奶茶。
雖然許多人都喜歡喝珍珠奶茶，但每個人每周都喝一杯，這看起來就不符合常理...
從這個角度去質疑，才發現！！！喔！原來報導寫錯了～
是「手搖飲」年產值500億元，每人每周平均都會喝一杯手搖飲，而非只限於珍珠奶茶。
萬總監運用的就是在分析師界很夯的「#費米推論」，是由一位得到諾貝爾獎的教授所提出，核心價值是在極短時間內，以相關數字計算乍看之下摸不著頭緒的物理量，
►►►後來延伸：只要透過推論的邏輯，就可在短時間內算出正確答案的近似值。
簡單來說，就是用 #邏輯思考，幫助你速算出八九不離十的數字，舉凡台灣有幾間便利商店？台灣有多少女人？這類大哉問的難題，都可以用推論就能概略得到答案。
萬總監提到的費米推論，其實我也很熟悉，因為之前念企管系，去應徵過麥肯錫顧問的學長姐就曾回來分享面試考題，就是類似的題目。
那時候我們都覺得這些題目很怪，可是也知道能進麥肯錫都是聰明人，因此僅單獨理解成這些題目是要考你聰不聰明，而直到這回廣播採訪，我才明白，原來聰明是有理論基礎，可以訓練出來。
費米推論不依靠蒐集大量數據，而是依靠一般常識與工作經驗，對有限的資料進行合理的假設推論，以最簡單的基本數學運算公式，來快速推算、找到有科學推論過程的數據。
💡那到底該如何運用呢？
萬總監提出三招：
① #不拘泥複雜的定義，改將重心放在淺顯易懂、能馬上開始的具體實踐方法上：可以自我練習去估算各種推論值，自己考自己，或是上網查詢也有很多相關題目可以練習。
② #透過較貼近日常生活的經驗推論：日常生活中的 一些基本數據比較好掌握，例如推論全台便利商店有幾間？可以透過估算走幾步能遇到一間便利商店，再從距離去估算每一城市有幾間來進行加總，重點就是訓練邏輯思考。
③ 可以運用最大值與最小值「#相乘開根號」的數學算式推估。這最神了！原來很多難以估算的數據，已有科學家證明可以用這樣的數學算式推算出來，超級好用，快學起來！👍
簡單來說，費米推論就是運用某些清楚可見的數值，去進行邏輯推演，藉由數學的力量，讓原本難以估算的數據可以有憑有據，也可以幫助我們在谷歌找資料時，能夠有辨別能力，學起來就能變聰明。
特別適合需要簡報分析產業、顧問、分析師，或是做研究，甚至是希望說服別人的職場工作者使用。
你也想變聰明嗎？快來認識這分析師界都在用的費米推論吧！
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其實 根號 二 是有理數. 772 views · 1 year ago ...more. 爛梗公車站. 699. Subscribe. 699 subscribers. 31. Share. Save. Report. Comments • 18. ... <看更多>
「 有理數的 四則運算 後，仍然是有理數」 ... 你可以自己想出答案+ 證明嗎？ ... 接下來的這組問題，是來自於，很多學生會直覺地把「無理數」和「根號開不出來」作掛 ... ... <看更多>
根號是有理數嗎 在 [基礎數學][輔仁92][純數系][證明] - 精華區trans_math 的推薦與評價
題目是:證明√2無理數
進而證明(√2+√3)也無理數
下面是錯誤的例子
請各位要考輔仁的注意不要這樣證呦
錯誤例子:
√2無理數......................(證明√2無理數.......中........)...........
同理
√3無理數 THEN 得證 √2+√3必為無理數
可以這樣證嗎
a無理數
b無理數
則a+b必無理數嗎?????????????????(請問中)
當然不行囉
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下面有人cloudyma (眷戀麗筠)反駁中
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當然不可以
√2無理數
-√2無理數
加起來等於0
我覺得最起碼要規定這兩個無理數不為相反數吧
for example,１。 (√2)+(1-√2)=1, etc
for example,２。 √2, 2-√2 >0
but (√2)+(2-√2)=2
應該要這樣證吧
先證明√6是無理數(我前面剛好有證過若整數x不為完全平方數 則√x是無理數)
然後假設√2+√3是有理數
令√2+√3=p/q
兩邊平方5+2√6=p^2/q^2
√6=(p^2/q^2-5)÷2=有理數
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
因為有理數具有封閉性 有理數加減乘除有理數後仍為有理數
但√6是無理數 矛盾 所以.....................
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他cloudyma (眷戀麗筠)的文章結束
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下面是 cloudyma (眷戀麗筠) 證明 √2是無理數
作者 cloudyma (眷戀麗筠) 看板 Math
標題 Re: [問題]更號2理數?
時間 Fri Aug 1 04:08:22 2003
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我倒是由這個方法想到一個更一般性的證明
(以下代數沒有特別言明 都是指正整數)
若正整數x不是完全平方數 則√x必為無理數
會用到的性質一 若p為質數且p｜x^2 則p｜x
會用到的性質二 若pn=qm 且(p,q)=1 則p｜m且q｜n
會用到的性質三 無理數的正整數倍仍為無理數
證明開始：
x不是完全平方數 則分下列(1)(2)(3)三種情況討論
(1)x本身是一個質數時
若√x是有理數 令√x=m/n (m.n)=1
xn^2=m^2
因此x｜m^2 根據性質一 可知x｜m
令m=xk代回xn^2=m^2
可得xn^2=x^2*k^2 即n^2=xk^2
故x｜n
因為x｜n且x｜m 與假設(m、n互質)矛盾 故√x是無理數
(2)x是若干個質數相乘 且每個質數只出現一次
(比方說x=3*5*11*17)
此時x可表示為"完全平方數*r" 其中r是若干個質數相乘 且每個質數只出現一次
因此√x=√r的正整數倍 根據(2) √r是無理數 又無理數的正整數倍仍為無理數
所以√x是無理數
請問大家這樣的證明可以嗎？
下面是 作者 [email protected] (damn),
證明 √2是無理數
假設根號2是有理數
所以 根號2 一定等於 q/p where p , q 屬於 Z (p,q)=1
兩邊平方 得 2 = (q/p)^2 移項 得 2p^2 = q^2
所以 q 一定是偶數 (自己 check !) 也就是說 q = 2k for some k 屬於 Z
推得 2p^2 = (2k)^2 = 4 k^2 兩邊 消 2
再推得 p^2 = 2k^2 也就是說 p 也是偶數 假定 p = 2h for some h 屬於 Z
所以 (p,q)不等於 1 矛盾 ~~~
得證 根號 2 不可能為 有理數
下面是 作者 [email protected] (無),
證明 √2是無理數方法
應該是講這個吧 以前po過好多次了...
設x=根號2
x^2=2
x^2-2=0
牛頓一次因式檢驗法
若x為有理數 必為1,-1,2 or -2
顯然x不等於這四個數
所以是無理數
證明根號裡的數是無理數最快的方法...
作者 [email protected] (hwp), 看板 Math
標題 Re: 今年輔大的證明題√2+√3是無理數
時間 興大天樞資訊網 (Mon Aug 4 15:01:43 2003)
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今年輔大的證明題√2+√3是無理數
這題應該可令
√2+√3=p/q (為有理數,且為互質)
=>5 +2√6 =p^2/q^2
=>√6 =p^2/2q^2 -5/2
由上可知 只要證明 √6是否為有理數就可以了,如果是則先前假設成立,
反之則假設不成立.
又令
√6 =r/s (為有理數,且為互質)
=>6 =r^2/s^2
=> 6s^2=r^2
=> r為6的倍數
=>可令 r=6k 代入原式
可得
6s^2=36k^2
=>s^2=6k^2
所以 s也必為 6的倍數
但原先假設 r,s互質不合,
故 √6 為無理數
故√2+√3為無理數.
(√6的證明是仿√2的,有何不妥請指教)
※ 編輯: FATTY2108 來自: 218.184.96.137 (08/04 16:34)
作者 "CCW" <[email protected]>, 看板 Math
標題 Re: 請問√2是無理數的證明
時間 National Chiao Tung University (Tue Jun 3 13:55:45 2003)
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牛頓一次因式檢驗法比較快
設x=√2
x^2=2
x^2-2=0
根據牛頓一次因式檢驗法
a(n)*x^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a1x+a0=0
若x存在有理根 此有理根必為 a0的所有因數/an的所有因數 其中一種組合
此題x=1,-1,2,-2 顯然都不滿足方程式 所以此方程式不存在有理根
所以x=√2是無理數(當然也有可能是其他的複數 不過√2沒有虛部)
※ 編輯: FATTY2108 來自: 218.184.96.137 (08/06 02:05)
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